$x = \sqrt{3}y - 1$ と $y = \sqrt{3}x$ が与えられているとき、 $(\sqrt{3}-y)^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}-y) - (1-x)^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3}y - 1$ と $y = \sqrt{3}x$ が与えられているとき、 $(\sqrt{3}-y)^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}-y) - (1-x)^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の関係式から、$x$ と $y$ の値を求めます。$y = \sqrt{3}x$ を $x = \sqrt{3}y - 1$ に代入すると、

$x = \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 1$

$x = 3x - 1$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

次に、$y = \sqrt{3}x$ に $x = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

次に、求める式の値を計算します。

$(\sqrt{3}-y)^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}(\sqrt{3}-y) - (1-x)^2 = (\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (1 - \frac{1}{2})^2$

$= (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{1}{2})^2$

$= \frac{3}{4} - 1 - \frac{1}{4}$

$= \frac{3}{4} - \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$= \frac{3-4-1}{4}$

$= \frac{-2}{4}$

$= -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$