$x > 0$ のとき、式 $(x + \frac{4}{x^3})(x^3 + \frac{4}{x})$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、式 $(x + \frac{4}{x^3})(x^3 + \frac{4}{x})$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$(x + \frac{4}{x^3})(x^3 + \frac{4}{x}) = x \cdot x^3 + x \cdot \frac{4}{x} + \frac{4}{x^3} \cdot x^3 + \frac{4}{x^3} \cdot \frac{4}{x}$

$= x^4 + 4 + 4 + \frac{16}{x^4}$

$= x^4 + \frac{16}{x^4} + 8$

ここで、$x^4 > 0$ なので、相加相乗平均の関係が使えます。

$x^4 + \frac{16}{x^4} \ge 2\sqrt{x^4 \cdot \frac{16}{x^4}} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$

したがって、

$x^4 + \frac{16}{x^4} + 8 \ge 8 + 8 = 16$

等号が成立するのは、$x^4 = \frac{16}{x^4}$ のときです。

$x^8 = 16$

$x^4 = 4$

$x^2 = 2$

$x = \sqrt{2}$ ($x>0$ より)

したがって、最小値は 16 であり、そのときの $x$ の値は $\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

最小値：16

$x$ の値：$\sqrt{2}$