2つの3次元ベクトル $f = (4, -4, 7)$ と $g = (3, -2, 6)$ について、以下の量を求めます。 - 2つのベクトルの距離 - 2つのベクトルの内積 - 2つのベクトルの相関係数 - ベクトル $f$ の $g$ 方向成分

1. 問題の内容

2つの3次元ベクトル $f = (4, -4, 7)$ と $g = (3, -2, 6)$ について、以下の量を求めます。

- 2つのベクトルの距離

- 2つのベクトルの内積

- 2つのベクトルの相関係数

- ベクトル $f$ の $g$ 方向成分

2. 解き方の手順

(1) 距離を求める

2つのベクトル $f$ と $g$ の距離 $d(f, g)$ は、以下のように計算します。

$d(f, g) = ||f - g|| = \sqrt{(4-3)^2 + (-4-(-2))^2 + (7-6)^2}$

$d(f, g) = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

(2) 内積を求める

2つのベクトル $f$ と $g$ の内積 $f \cdot g$ は、以下のように計算します。

$f \cdot g = (4)(3) + (-4)(-2) + (7)(6) = 12 + 8 + 42 = 62$

(3) 相関係数を求める

2つのベクトル $f$ と $g$ の相関係数 $\rho$ は、以下のように計算します。

まず、$f$ と $g$ のノルム（大きさ）を計算します。

$||f|| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$

$||g|| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

相関係数は、$\rho = \frac{f \cdot g}{||f|| \cdot ||g||}$で与えられるので、

$\rho = \frac{62}{9 \cdot 7} = \frac{62}{63}$

(4) $f$ の $g$ 方向成分を求める

$f$ の $g$ 方向成分 $f_{g}$ は、$f$ を $g$ に正射影したベクトルで与えられます。

$f_{g} = \frac{f \cdot g}{||g||^2} g$

$||g||^2 = 49$ なので、

$f_{g} = \frac{62}{49} (3, -2, 6) = (\frac{186}{49}, -\frac{124}{49}, \frac{372}{49})$

3. 最終的な答え

- 距離: $\sqrt{6}$

- 内積: $62$

- 相関係数: $\frac{62}{63}$

- $f$ の $g$ 方向成分: $(\frac{186}{49}, -\frac{124}{49}, \frac{372}{49})$