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$V$ はベクトル空間、$W_1, W_2$ は $V$ の部分空間とする。$W_1 \cup W_2$ が $V$ の部分空間ならば、$W_1 \subset W_2$ または $W_1 \supset W_2$ となることを示せ。

代数学線形代数ベクトル空間部分空間集合論証明
2025/6/8

1. 問題の内容

VV はベクトル空間、W1,W2W_1, W_2 は VV の部分空間とする。W1∪W2W_1 \cup W_2 が VV の部分空間ならば、W1⊂W2W_1 \subset W_2 または W1⊃W2W_1 \supset W_2 となることを示せ。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。W1⊄W2W_1 \not\subset W_2 かつ W1⊅W2W_1 \not\supset W_2 と仮定する。このとき、W1W_1 に属するが W2W_2 に属さないベクトル w1w_1 が存在し、W2W_2 に属するが W1W_1 に属さないベクトル w2w_2 が存在する。すなわち、w1∈W1∖W2w_1 \in W_1 \setminus W_2 かつ w2∈W2∖W1w_2 \in W_2 \setminus W_1 である。
W1∪W2W_1 \cup W_2 は部分空間であると仮定しているので、w1,w2∈W1∪W2w_1, w_2 \in W_1 \cup W_2 ならば w1+w2∈W1∪W2w_1 + w_2 \in W_1 \cup W_2 でなければならない。したがって、w1+w2∈W1w_1 + w_2 \in W_1 または w1+w2∈W2w_1 + w_2 \in W_2 である。
(i) w1+w2∈W1w_1 + w_2 \in W_1 の場合、W1W_1 は部分空間なので、w1∈W1w_1 \in W_1 ならば −w1∈W1-w_1 \in W_1 であり、(w1+w2)+(−w1)=w2∈W1(w_1 + w_2) + (-w_1) = w_2 \in W_1 となる。これは、w2∈W2∖W1w_2 \in W_2 \setminus W_1 であることと矛盾する。
(ii) w1+w2∈W2w_1 + w_2 \in W_2 の場合、W2W_2 は部分空間なので、w2∈W2w_2 \in W_2 ならば −w2∈W2-w_2 \in W_2 であり、(w1+w2)+(−w2)=w1∈W2(w_1 + w_2) + (-w_2) = w_1 \in W_2 となる。これは、w1∈W1∖W2w_1 \in W_1 \setminus W_2 であることと矛盾する。
いずれの場合も矛盾が生じるので、W1⊄W2W_1 \not\subset W_2 かつ W1⊅W2W_1 \not\supset W_2 という仮定が誤りであることが示された。したがって、W1⊂W2W_1 \subset W_2 または W1⊃W2W_1 \supset W_2 が成り立つ。

3. 最終的な答え

W1⊂W2W_1 \subset W_2 または W1⊃W2W_1 \supset W_2

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