ある放物線を、$x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線 $y = -x^2 + x - 8$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線 $y = -x^2 + x - 8$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、移動を逆順に考えます。最終的な放物線 $y = -x^2 + x - 8$ に対して、以下の操作を順に行います。

1. 原点に関して対称移動：$y$ を $-y$, $x$ を $-x$ で置き換えます。

$-y = -(-x)^2 + (-x) - 8$

$-y = -x^2 - x - 8$

$y = x^2 + x + 8$

2. $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $-2$ の平行移動の逆操作、つまり $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動を行います。$x$ を $x - 2$, $y$ を $y - 2$ で置き換えます。

$y - 2 = (x - 2)^2 + (x - 2) + 8$

$y = (x - 2)^2 + (x - 2) + 10$

ここで $(x - 2)^2$ を展開します。

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

これを用いて $y$ を $x$ の式で表すと

$y = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 10$

$y = x^2 - 3x + 12$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 3x + 12$