問題は2つのパートに分かれています。 パート1では、2つの2次元ベクトル $v_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ と $v_2 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ が与えられています。 (1) $v_1$ と $v_2$ が正規直交基をなすかどうかを調べます。 (2) ベクトル $f = (\frac{7\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ を $v_1$ と $v_2$ を使って表します。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1では、2つの2次元ベクトル $v_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ と $v_2 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ が与えられています。

(1) $v_1$ と $v_2$ が正規直交基をなすかどうかを調べます。

(2) ベクトル $f = (\frac{7\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ を $v_1$ と $v_2$ を使って表します。

2. 解き方の手順

(1) $v_1$ と $v_2$ が正規直交基をなすかどうかの確認

まず、$v_1$ と $v_2$ が直交しているか確認します。

内積が0であれば直交します。

$v_1 \cdot v_2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

したがって、$v_1$ と $v_2$ は直交します。

次に、$v_1$ と $v_2$ の大きさが1であるか確認します。

$||v_1|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$

$||v_2|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$

したがって、$v_1$ と $v_2$ は大きさが1です。

以上より、$v_1$ と $v_2$ は正規直交基をなします。

(2) ベクトル $f$ を $v_1$ と $v_2$ で表す

$v_1$ と $v_2$ は正規直交基なので、ベクトル $f$ は以下のように表せます。

$f = (f \cdot v_1)v_1 + (f \cdot v_2)v_2$

$f \cdot v_1 = (\frac{7\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = \frac{21}{4} - \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$f \cdot v_2 = (\frac{7\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{7\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$

したがって、$f = 5v_1 + 2\sqrt{3}v_2$

3. 最終的な答え

(1) $v_1$ と $v_2$ は正規直交基をなす。

(2) $f = 5v_1 + 2\sqrt{3}v_2$