以下の3つの連立方程式を解く問題です。ただし、(1)はx, yについて、(2),(3)はx, y, zについて解き、a, bはx, y, zに依らない定数です。掃き出し法を用います。 (1) $107x + 241y = 669$ $113x + 199y = 651$ (2) $x + y + z = 1$ $3x - y - z = -5$ $x - 3y - 3z = a$ (3) $2x + 3y + az = 1$ $x + y + (1-b)z = 0$ $y + abz = 2$

1. 問題の内容

以下の3つの連立方程式を解く問題です。ただし、(1)はx, yについて、(2),(3)はx, y, zについて解き、a, bはx, y, zに依らない定数です。掃き出し法を用います。

(1)

$107x + 241y = 669$

$113x + 199y = 651$

(2)

$x + y + z = 1$

$3x - y - z = -5$

$x - 3y - 3z = a$

(3)

$2x + 3y + az = 1$

$x + y + (1-b)z = 0$

$y + abz = 2$

2. 解き方の手順

(1)

連立方程式を解きます。

$107x + 241y = 669$ (1)

$113x + 199y = 651$ (2)

(2) * 107 - (1) * 113を計算すると、

$113 * 199y - 107 * 199y = 651 * 107 - 669 * 113$

$-3514y = 69657 - 75597$

$-3514y = -5940$

$y = \frac{-5940}{-3514} = \frac{2970}{1757} \approx 1.690$

$y = 3$を仮定して計算し直します。

(1)に代入して、$107x + 241 * 3 = 669$

$107x + 723 = 669$

$107x = -54$

$x = -\frac{54}{107} \approx -0.505$

(2)に代入して、$113x + 199 * 3 = 651$

$113x + 597 = 651$

$113x = 54$

$x = \frac{54}{113} \approx 0.478$

正確な整数解がないため計算ミスがあったかもしれません。$y=3$の場合、連立方程式は矛盾します。

改めて計算します。

$107x + 241y = 669$ (1)

$113x + 199y = 651$ (2)

(1)*113 - (2)*107を計算すると、

$(113*241 - 107*199)y = 669*113 - 651*107$

$(27233 - 21293)y = 75597 - 69657$

$5940y = 5940$

$y = 1$

(1)に代入して、$107x + 241(1) = 669$

$107x = 428$

$x = 4$

(2)

$x + y + z = 1$ (1)

$3x - y - z = -5$ (2)

$x - 3y - 3z = a$ (3)

(1) + (2)より $4x = -4$, よって $x = -1$

(1)に代入して $-1 + y + z = 1$, よって $y + z = 2$ (4)

(2)に代入して $3(-1) - y - z = -5$, よって $-y - z = -2$, つまり $y + z = 2$ (5)

(3)に代入して $-1 - 3y - 3z = a$, よって $-1 - 3(y + z) = a$

$-1 - 3(2) = a$

$-1 - 6 = a$

$a = -7$

$y+z=2$を満たす$y, z$は無数に存在する。例えば$y=0$ならば$z=2$, $y=1$ならば$z=1$。

よって、$x=-1$, $a = -7$、$y+z=2$が答えです。

(3)

$2x + 3y + az = 1$ (1)

$x + y + (1-b)z = 0$ (2)

$y + abz = 2$ (3)

(2) * 2 - (1) より $-y + (2 - 2b - a)z = -1$ (4)

(3) + (4) より $(2 - 2b - a + ab)z = 1$

$z = \frac{1}{2 - 2b - a + ab}$

$y = 2 - abz = 2 - \frac{ab}{2 - 2b - a + ab} = \frac{4 - 4b - 2a + 2ab - ab}{2 - 2b - a + ab} = \frac{4 - 4b - 2a + ab}{2 - 2b - a + ab}$

$x = -y - (1 - b)z = -\frac{4 - 4b - 2a + ab}{2 - 2b - a + ab} - \frac{1 - b}{2 - 2b - a + ab} = \frac{-4 + 4b + 2a - ab - 1 + b}{2 - 2b - a + ab} = \frac{-5 + 5b + 2a - ab}{2 - 2b - a + ab}$

3. 最終的な答え

(1) $x=4, y=1$

(2) $x=-1, a=-7, y+z=2$ （y,zは無数に存在する）

(3) $x = \frac{-5 + 5b + 2a - ab}{2 - 2b - a + ab}$, $y = \frac{4 - 4b - 2a + ab}{2 - 2b - a + ab}$, $z = \frac{1}{2 - 2b - a + ab}$