与えられた漸化式に基づいて数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。今回は、問題(1), (2), (3), (4)すべてを解きます。

1. 問題の内容

与えられた漸化式に基づいて数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。今回は、問題(1), (2), (3), (4)すべてを解きます。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$

これは特性方程式を使うタイプの漸化式です。

$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$とおくと、

$a_{n+1} = 3a_n - 2\alpha$なので、$-2\alpha = -2$より$\alpha = 1$です。

よって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$となり、数列$\{a_n - 1\}$は初項$a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 公比3の等比数列です。

$a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$

これも特性方程式を使うタイプの漸化式です。

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3}(a_n - \alpha)$とおくと、

$a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + \frac{2}{3}\alpha$なので、$\frac{2}{3}\alpha = 2$より$\alpha = 3$です。

よって、$a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)$となり、数列$\{a_n - 3\}$は初項$a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$, 公比$\frac{1}{3}$の等比数列です。

$a_n - 3 = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

$a_n = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + 3$

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} = -2a_n + 1$

これも特性方程式を使うタイプの漸化式です。

$a_{n+1} - \alpha = -2(a_n - \alpha)$とおくと、

$a_{n+1} = -2a_n + 3\alpha$なので、$3\alpha = 1$より$\alpha = \frac{1}{3}$です。

よって、$a_{n+1} - \frac{1}{3} = -2(a_n - \frac{1}{3})$となり、数列$\{a_n - \frac{1}{3}\}$は初項$a_1 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, 公比$-2$の等比数列です。

$a_n - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1}$

$a_n = \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$

(4) $a_1 = 1, 2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

この式は、$2a_{n+1} = a_n - 2$ と変形できます。

さらに、$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 1$ となります。

これも特性方程式を使うタイプの漸化式です。

$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha)$とおくと、

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2}\alpha$なので、$\frac{1}{2}\alpha = -1$より$\alpha = -2$です。

よって、$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$となり、数列$\{a_n + 2\}$は初項$a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$, 公比$\frac{1}{2}$の等比数列です。

$a_n + 2 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_n = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + 3$

(3) $a_n = \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$

(4) $a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2$