定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を求めます。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + 1 = (x - a)^2 + 1$

この関数は、軸が $x = a$ の下に凸な放物線です。定義域が $0 \le x \le 2$ であることを考慮して、以下の3つの場合に分けて考えます。

(1) $a < 0$ の場合:

このとき、$x = 0$ で最大、$x = 2$ で最小となります。

$x=0$のとき、$y = (0-a)^2 + 1 = a^2 + 1$

$x=2$のとき、$y = (2-a)^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

よって、最大値は$a^2+1$、最小値は$a^2 - 4a + 5$です。

(2) $0 \le a \le 2$ の場合:

このとき、$x = a$ で最小、$x = 0$ または $x = 2$ のうち、$a$ から遠い方で最大となります。

最小値は、$x = a$ のとき、$y = (a - a)^2 + 1 = 1$ です。

$0 \le a \le 1$ のとき、$x = 2$ で最大、$y = (2-a)^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

$1 < a \le 2$ のとき、$x = 0$ で最大、$y = (0-a)^2 + 1 = a^2 + 1$

したがって、$0 \le a \le 1$ では最大値は$a^2 - 4a + 5$, 最小値は$1$、$1 < a \le 2$ では最大値は$a^2 + 1$, 最小値は$1$です。

(3) $a > 2$ の場合:

このとき、$x = 2$ で最小、$x = 0$ で最大となります。

$x=0$のとき、$y = (0-a)^2 + 1 = a^2 + 1$

$x=2$のとき、$y = (2-a)^2 + 1 = a^2 - 4a + 5$

よって、最大値は$a^2+1$、最小値は$a^2 - 4a + 5$です。

まとめると

$a<0$のとき、最大値は$a^2+1$ (x=0), 最小値は$a^2-4a+5$ (x=2)

$0\leq a \leq 1$のとき、最大値は$a^2-4a+5$ (x=2), 最小値は$1$ (x=a)

$1< a \leq 2$のとき、最大値は$a^2+1$ (x=0), 最小値は$1$ (x=a)

$a>2$のとき、最大値は$a^2+1$ (x=0), 最小値は$a^2-4a+5$ (x=2)

3. 最終的な答え

$a<0$のとき：最大値 $a^2+1$ (x=0), 最小値 $a^2-4a+5$ (x=2)

$0 \le a \le 1$のとき：最大値 $a^2-4a+5$ (x=2), 最小値 $1$ (x=a)

$1< a \le 2$のとき：最大値 $a^2+1$ (x=0), 最小値 $1$ (x=a)

$a>2$のとき：最大値 $a^2+1$ (x=0), 最小値 $a^2-4a+5$ (x=2)