問題2では、2つの2次元ベクトル $v_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ と $v_2 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ が与えられています。 (1) $v_1$ と $v_2$ が正規直交基をなすかどうかを調べます。 (2) $v_1$ と $v_2$ を使って、ベクトル $f = (\frac{7\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ を表します。

1. 問題の内容

問題2では、2つの2次元ベクトル $v_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ と $v_2 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ が与えられています。

(1) $v_1$ と $v_2$ が正規直交基をなすかどうかを調べます。

(2) $v_1$ と $v_2$ を使って、ベクトル $f = (\frac{7\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ を表します。

2. 解き方の手順

(1) 正規直交基であるかどうかの確認

まず、$v_1$ と $v_2$ が直交していることを確認します。これは、内積が0になることで確かめられます。

$v_1 \cdot v_2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

したがって、$v_1$ と $v_2$ は直交しています。

次に、$v_1$ と $v_2$ が単位ベクトルであることを確認します。

$||v_1|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$||v_2|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、$v_1$ と $v_2$ は単位ベクトルです。

以上より、$v_1$ と $v_2$ は正規直交基をなします。

(2) ベクトル $f$ の表現

$f = c_1v_1 + c_2v_2$ と表すと、$c_1 = f \cdot v_1$ および $c_2 = f \cdot v_2$ となります。

$c_1 = f \cdot v_1 = (\frac{7\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = \frac{21}{4} - \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$c_2 = f \cdot v_2 = (\frac{7\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{7\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$

したがって、$f = 5v_1 + 2\sqrt{3}v_2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $v_1$ と $v_2$ は正規直交基をなす。

(2) $f = 5v_1 + 2\sqrt{3}v_2$