$3^{23} = 94143178827$ であり、$9 \times 10^{10} < 3^{23} < 10^{11}$ が成り立つとき、$\log_{10} 3$ の値を小数第2位まで求めよ。

1. 問題の内容

$3^{23} = 94143178827$ であり、$9 \times 10^{10} < 3^{23} < 10^{11}$ が成り立つとき、$\log_{10} 3$ の値を小数第2位まで求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$9 \times 10^{10} < 3^{23} < 10^{11}$ の各辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(9 \times 10^{10}) < \log_{10}(3^{23}) < \log_{10}(10^{11})$

$\log_{10}9 + \log_{10}10^{10} < 23 \log_{10}3 < 11 \log_{10}10$

$\log_{10}3^2 + 10 < 23 \log_{10}3 < 11$

$2 \log_{10}3 + 10 < 23 \log_{10}3 < 11$

ここで、$\log_{10}3 = x$ とおくと、

$2x + 10 < 23x < 11$

まず、$23x < 11$ より、

$x < \frac{11}{23} \approx 0.478$

次に、$2x + 10 < 23x$ より、

$10 < 21x$

$x > \frac{10}{21} \approx 0.476$

したがって、$0.476 < \log_{10}3 < 0.478$

このことから、$\log_{10}3$ の小数第2位までの値は 0.48 と推測できます。

別の解法として、$3^{23}$ が $9 \times 10^{10}$ に近いことから、より正確な値を求めます。

$\log_{10}(9 \times 10^{10}) = \log_{10}9 + 10 = \log_{10}3^2 + 10 = 2 \log_{10}3 + 10$

$2 \log_{10}3 + 10 \approx 23 \log_{10}3$

$10 \approx 21 \log_{10}3$

$\log_{10}3 \approx \frac{10}{21} \approx 0.47619$

$23 \log_{10}3 = \log_{10} 3^{23} = \log_{10} 94143178827 \approx \log_{10} (9.414 \times 10^{10})$

$\log_{10} 9.414 + 10$

$\log_{10} 9.414 \approx 0.9737$

$0.9737+10 = 10.9737 = 23 \log_{10} 3$

$\log_{10} 3 \approx \frac{10.9737}{23} \approx 0.4771$

小数第2位まで求めると0.48

3. 最終的な答え

0.48