$p$ が素数のとき、$a^2 - p^2 = 15$ を満たす自然数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$p$ が素数のとき、$a^2 - p^2 = 15$ を満たす自然数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 - p^2 = 15$ を因数分解する。

$a^2 - p^2 = (a+p)(a-p) = 15$

$a$ と $p$ は自然数なので、$a+p$ と $a-p$ も整数である。また、$a+p > 0$ なので、$a-p > 0$ である。

15の正の約数の組は、(1, 15), (3, 5), (5, 3), (15, 1)である。

したがって、$a+p$ と $a-p$ の組として考えられるのは、以下の2通りである。

(1) $a+p = 15$ かつ $a-p = 1$

(2) $a+p = 5$ かつ $a-p = 3$

(1)の場合:

$a+p = 15$

$a-p = 1$

2つの式を足すと、 $2a = 16$ より $a = 8$

$a = 8$ を $a+p = 15$ に代入すると、$8+p = 15$ より $p = 7$

$p=7$は素数なので、これは条件を満たす。

(2)の場合:

$a+p = 5$

$a-p = 3$

2つの式を足すと、$2a = 8$ より $a = 4$

$a = 4$ を $a+p = 5$ に代入すると、$4+p = 5$ より $p = 1$

$p=1$は素数ではないので、これは条件を満たさない。

したがって、$a = 8$, $p = 7$ のみが条件を満たす。

求める $a$ の値は 8 である。

3. 最終的な答え

8