初項から第10項までの和が3、第11項から第30項までの和が18である等比数列がある。この等比数列の第31項から第60項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第10項までの和が3、第11項から第30項までの和が18である等比数列がある。この等比数列の第31項から第60項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

初項を $a$ 、公比を $r$ とする。

初項から第10項までの和を $S_{10}$ 、初項から第30項までの和を $S_{30}$ 、初項から第60項までの和を $S_{60}$ とする。

問題文より、$S_{10}=3$ 、第11項から第30項までの和が18であるから、$S_{30}-S_{10}=18$。したがって、$S_{30}=S_{10}+18=3+18=21$。

等比数列の和の公式より、

$$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$S_{10}=3$ より、

$$\frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 3$$

$S_{30}=21$ より、

$$\frac{a(1-r^{30})}{1-r} = 21$$

$\frac{a(1-r^{30})}{1-r} = \frac{a(1-r^{10})(1+r^{10}+r^{20})}{1-r} = 21$

$\frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 3$ を代入して、

$3(1+r^{10}+r^{20}) = 21$

$1+r^{10}+r^{20} = 7$

$r^{20}+r^{10}-6=0$

$(r^{10}+3)(r^{10}-2)=0$

$r^{10}>0$ より、$r^{10}=2$。

第31項から第60項までの和は、$S_{60}-S_{30}$。

$S_{60} = \frac{a(1-r^{60})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{10})^6)}{1-r} = \frac{a(1-2^6)}{1-r} = \frac{a(1-64)}{1-r} = \frac{-63a}{1-r}$

$S_{30} = \frac{a(1-r^{30})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{10})^3)}{1-r} = \frac{a(1-2^3)}{1-r} = \frac{a(1-8)}{1-r} = \frac{-7a}{1-r}$

$S_{60}-S_{30} = \frac{-63a}{1-r} - \frac{-7a}{1-r} = \frac{-56a}{1-r} = 8 \frac{-7a}{1-r} = 8 S_{30} = 8 \times 21 = 168$

3. 最終的な答え

168