与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。 (1) 初項が4、公比が2の場合 (2) 初項が-2、公比が1の場合 (3) -1, 2, -4,... の場合

1. 問題の内容

与えられた等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

(1) 初項が4、公比が2の場合

(2) 初項が-2、公比が1の場合

(3) -1, 2, -4,... の場合

2. 解き方の手順

(1) 初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、 $r \neq 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で求められます。

初項が4、公比が2の場合、 $a=4$ , $r=2$ なので、

$S_n = \frac{4(1-2^n)}{1-2} = \frac{4(1-2^n)}{-1} = -4(1-2^n) = 4(2^n - 1)$

(2) 初項が-2、公比が1の場合、$a=-2$, $r=1$ なので、

$S_n = a + a + a + ... + a = na = -2n$

(3) -1, 2, -4,... の場合、初項は $a=-1$、公比は $r = \frac{2}{-1} = -2$ なので、

$S_n = \frac{-1(1-(-2)^n)}{1-(-2)} = \frac{-1(1-(-2)^n)}{3} = \frac{-(1-(-2)^n)}{3} = \frac{(-2)^n - 1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = 4(2^n - 1)$

(2) $S_n = -2n$

(3) $S_n = \frac{(-2)^n - 1}{3}$