ド・モルガンの法則を用いて、集合の等式 $\overline{(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}} = (A \cap B) \cup C$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

ド・モルガンの法則を用いて、集合の等式 $\overline{(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}} = (A \cap B) \cup C$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を変形していきます。ド・モルガンの法則を適用します。

ド・モルガンの法則は以下の通りです。

* $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

* $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

また、集合の補集合の補集合は元の集合に戻る、つまり $\overline{\overline{A}} = A$ という性質も利用します。

左辺 $\overline{(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}}$ に対してド・モルガンの法則を適用すると、

$\overline{(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}} = \overline{\overline{A \cup B}} \cup \overline{\overline{C}}$

補集合の補集合の性質 $\overline{\overline{A}} = A$ を適用すると、

$\overline{\overline{A \cup B}} \cup \overline{\overline{C}} = (A \cup B) \cup C$

結合法則より、

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

ここで、右辺 $(A \cap B) \cup C$ と一致するように変形することを考えます。

しかし、左辺を $(A \cap B) \cup C$ の形に変形するのは困難なので、右辺を変形して左辺に一致するようにします。

右辺$(A \cap B) \cup C$ はこれ以上簡単にならないので、左辺の $(A \cup B) \cup C$もこれ以上簡単になりません。

元の問題に誤りがあります。問題は、$\overline{(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap \overline{C}} = (A \cap B) \cup C$ であると考えられます。

この場合、左辺から計算すると、

$\overline{(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap \overline{C}}$

ド・モルガンの法則より、

$= \overline{(\overline{A} \cup \overline{B})} \cup \overline{\overline{C}}$

$= \overline{\overline{A}} \cap \overline{\overline{B}} \cup \overline{\overline{C}}$

$= A \cap B \cup C$

$= (A \cap B) \cup C$

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあると考えられます。

正しい問題文が $\overline{(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap \overline{C}} = (A \cap B) \cup C$ である場合、上記の通り証明できます。

$\overline{(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap \overline{C}} = (A \cap B) \cup C$