$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ を有理化しなさい。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ を有理化しなさい。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数（ここでは共役な無理数）を分母と分子の両方にかけます。分母 $\sqrt{3}+1$ の共役な無理数は $\sqrt{3}-1$ です。

したがって、

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)} \times \frac{(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)}$

$= \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(1) + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

分母を展開します。

$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{2} = 2-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$