$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a^2+b^2$

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a^2+b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$ を変形する。分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{6}+2$ を分母と分子にかける。

$\frac{2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}+2)}{2} = \sqrt{6}+2$

$\sqrt{6}$ の値の見当をつける。$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9}=3$ であるため、$2 < \sqrt{6} < 3$。

$2.4^2=5.76$ であり、$2.5^2=6.25$ であるため、$2.4 < \sqrt{6} < 2.5$。

したがって、$\sqrt{6} \approx 2.4$ と考える。

$\sqrt{6}+2 \approx 2.4 + 2 = 4.4$ となる。

$\sqrt{6}+2$ の整数部分は $4$ であると予想される。

$a=4$ である。

次に、小数部分 $b$ を求める。

$b = (\sqrt{6}+2) - a = \sqrt{6}+2 - 4 = \sqrt{6}-2$

最後に、$a^2+b^2$ を求める。

$a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{6}-2)^2 = 16 + (6 - 4\sqrt{6} + 4) = 16 + 10 - 4\sqrt{6} = 26 - 4\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$

(2) $b = \sqrt{6} - 2$

(3) $a^2+b^2 = 26 - 4\sqrt{6}$