与えられた式 $\frac{x\sqrt{y} \times \sqrt{xy}}{x^2\sqrt{y} \times \sqrt{x^2y}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x\sqrt{y} \times \sqrt{xy}}{x^2\sqrt{y} \times \sqrt{x^2y}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子は、

$x\sqrt{y} \times \sqrt{xy} = x \sqrt{y \times xy} = x \sqrt{xy^2} = x \sqrt{x} \sqrt{y^2} = xy\sqrt{x}$

分母は、

$x^2\sqrt{y} \times \sqrt{x^2y} = x^2 \sqrt{y \times x^2y} = x^2 \sqrt{x^2y^2} = x^2 \sqrt{x^2} \sqrt{y^2} = x^2 \times x \times y = x^3y$

よって、

$\frac{x\sqrt{y} \times \sqrt{xy}}{x^2\sqrt{y} \times \sqrt{x^2y}} = \frac{xy\sqrt{x}}{x^3y}$

次に、分母と分子で共通の項を約分します。

$\frac{xy\sqrt{x}}{x^3y} = \frac{y}{y} \times \frac{x}{x^3} \times \sqrt{x} = 1 \times \frac{1}{x^2} \times \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x}}{x^2}$

$\frac{\sqrt{x}}{x^2} = \frac{x^{1/2}}{x^2} = x^{1/2 - 2} = x^{1/2 - 4/2} = x^{-3/2} = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

あるいは、$\frac{\sqrt{x}}{x^2}$ の分子と分母に $\sqrt{x}$ を掛けて、

$\frac{\sqrt{x} \times \sqrt{x}}{x^2 \times \sqrt{x}} = \frac{x}{x^2 \sqrt{x}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$

分子と分母に$\sqrt{x}$をかけると

$\frac{1}{x\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x} \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x} = \frac{\sqrt{x}}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{x}}{x^2}$ または $\frac{1}{x\sqrt{x}}$