関数 $f(x) = x^2 - 10x + c$ において、定義域が $3 \le x \le 8$ である。このとき、$f(x)$ の最大値が10となるように、定数 $c$ の値を定める。また、条件として $-a^2 + a; 2 \le a$のとき、$x=1$で最大値 $1-a$, $x=2$で最小値$4-3a$ が与えられているが、この問題には直接関係しない。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 10x + c$ において、定義域が $3 \le x \le 8$ である。このとき、$f(x)$ の最大値が10となるように、定数 $c$ の値を定める。また、条件として $-a^2 + a; 2 \le a$のとき、$x=1$で最大値 $1-a$, $x=2$で最小値$4-3a$ が与えられているが、この問題には直接関係しない。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 10x + c = (x - 5)^2 - 25 + c$

これは、頂点の座標が $(5, -25 + c)$ の下に凸の放物線である。

定義域が $3 \le x \le 8$ であるから、軸 $x = 5$ は定義域に含まれている。

$f(x)$ の最大値は、定義域の端点のいずれかでとる。

$x = 3$ のとき、$f(3) = 3^2 - 10 \cdot 3 + c = 9 - 30 + c = c - 21$

$x = 8$ のとき、$f(8) = 8^2 - 10 \cdot 8 + c = 64 - 80 + c = c - 16$

$f(8) > f(3)$ なので、定義域内で $x=8$のとき最大値をとる。

したがって、$f(8) = 10$ より、

$c - 16 = 10$

$c = 26$

3. 最終的な答え

$c = 26$