実数 $\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a^2 + b^2$

## 問題86

1. 問題の内容

実数 $\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a^2 + b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\sqrt{10}-3}$ を変形します。分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{10}+3$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{10}-3} = \frac{1}{\sqrt{10}-3} \times \frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{10}+3} = \frac{\sqrt{10}+3}{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{10}+3}{10-9} = \sqrt{10}+3$

$\sqrt{10}$ の値の見当をつけます。$3^2 = 9$ であり、$4^2 = 16$ なので、$3 < \sqrt{10} < 4$ です。より詳しく考えると、$3.1^2 = 9.61$ であり、$3.2^2 = 10.24$ なので、$3.1 < \sqrt{10} < 3.2$ です。したがって、$\sqrt{10}$ の整数部分は3です。

$\sqrt{10}+3$ の整数部分は、$3 + 3 = 6$ なので、$a=6$です。

小数部分 $b$ は、もとの数から整数部分を引いたものです。

$b = (\sqrt{10}+3) - 6 = \sqrt{10} - 3$

最後に、$a^2 + b^2$ を計算します。

$a^2 + b^2 = 6^2 + (\sqrt{10}-3)^2 = 36 + (10 - 6\sqrt{10} + 9) = 36 + 19 - 6\sqrt{10} = 55 - 6\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6$

(2) $b = \sqrt{10} - 3$

(3) $a^2 + b^2 = 55 - 6\sqrt{10}$