$ax < 2x + 3b$ の不等式を、$a$ と $b$ が定数であるという条件のもとで、$x$ について解き、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

$ax < 2x + 3b$ の不等式を、$a$ と $b$ が定数であるという条件のもとで、$x$ について解き、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$ax < 2x + 3b$

$ax - 2x < 3b$

$(a - 2)x < 3b$

次に、$a$ の値によって場合分けします。

(1) $a > 2$ のとき、$a - 2 > 0$ なので、不等式の両辺を $a - 2$ で割ると、不等号の向きは変わりません。

$x < \frac{3b}{a - 2}$

したがって、ツは 2 であり、テは選択肢①です。

(2) $a = 2$ のとき、$(a - 2)x = 0x = 0 < 3b$ となります。

$b > 0$ ならば、この不等式は常に成立するので、解はすべての実数となります。

$b \le 0$ ならば、この不等式は成立しないので、解なしとなります。

したがって、トは > であり、選択肢③です。ナは $\le$ であり、選択肢②です。

(3) $a < 2$ のとき、$a - 2 < 0$ なので、不等式の両辺を $a - 2$ で割ると、不等号の向きは変わります。

$x > \frac{3b}{a - 2}$

したがって、ニは選択肢②です。

3. 最終的な答え

ツ: 2

テ: ①

ト: ③

ナ: ②

ニ: ②