(2) 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $5$, $x-2$ で割ると余りが $7$ となる。このとき、$P(x)$ を $x^2-3x+2$ で割った余りを求めよ。 (3) $x^{2025}-1$ を $x^2-x$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

(2) 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $5$, $x-2$ で割ると余りが $7$ となる。このとき、$P(x)$ を $x^2-3x+2$ で割った余りを求めよ。

(3) $x^{2025}-1$ を $x^2-x$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(2) $P(x)$ を $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$ で割った余りを $ax+b$ とおく。

$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + ax + b$ と表せる。

ここで、$P(1) = a(1) + b = a+b = 5$ と $P(2) = a(2) + b = 2a+b = 7$ が与えられている。

この連立方程式を解く。

$2a + b = 7$

$a + b = 5$

を引き算すると、$a = 2$ が得られる。

これを $a+b = 5$ に代入すると、$2 + b = 5$ より $b = 3$ となる。

したがって、余りは $2x + 3$ である。

(3) $x^{2025}-1$ を $x^2-x = x(x-1)$ で割った余りを $ax+b$ とおく。

$x^{2025}-1 = x(x-1)Q(x) + ax + b$ と表せる。

ここで、$x=0$ を代入すると、

$0^{2025} - 1 = 0 \cdot (0-1) \cdot Q(0) + a(0) + b$

$-1 = b$

$x=1$ を代入すると、

$1^{2025} - 1 = 1 \cdot (1-1) \cdot Q(1) + a(1) + b$

$1 - 1 = a + b$

$0 = a + b$

したがって、$a = -b = -(-1) = 1$ である。

よって、余りは $x - 1$ である。

3. 最終的な答え

(2) $2x+3$

(3) $x-1$