与えられた等式 $x^2 - 10x + 3 = a(x-2)(x-3) + b(x-3)(x-1) + c(x-1)(x-2)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^2 - 10x + 3 = a(x-2)(x-3) + b(x-3)(x-1) + c(x-1)(x-2)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

恒等式なので、$x$ にどのような値を代入しても等式が成り立ちます。そこで、$(x-1)$, $(x-2)$, $(x-3)$ が 0 になるような $x$ の値を代入することで、$a$, $b$, $c$ の値を求めます。

* $x = 1$ を代入すると:

$1^2 - 10(1) + 3 = a(1-2)(1-3) + b(1-3)(1-1) + c(1-1)(1-2)$

$-6 = a(-1)(-2) + b(-2)(0) + c(0)(-1)$

$-6 = 2a$

$a = -3$

* $x = 2$ を代入すると:

$2^2 - 10(2) + 3 = a(2-2)(2-3) + b(2-3)(2-1) + c(2-1)(2-2)$

$4 - 20 + 3 = a(0)(-1) + b(-1)(1) + c(1)(0)$

$-13 = -b$

$b = 13$

* $x = 3$ を代入すると:

$3^2 - 10(3) + 3 = a(3-2)(3-3) + b(3-3)(3-1) + c(3-1)(3-2)$

$9 - 30 + 3 = a(1)(0) + b(0)(2) + c(2)(1)$

$-18 = 2c$

$c = -9$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 13$

$c = -9$