実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ を簡単にすることを考える。場合分けをして、$a > \boxed{ア}$ のとき、$A = \boxed{イ}$、$ \boxed{ウ} \le a \le \boxed{エ}$ のとき、$A = \boxed{オ}$、$a < \boxed{カキ}$ のとき、$A = \boxed{ケ}$ を求める問題である。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ を簡単にすることを考える。場合分けをして、$a > \boxed{ア}$ のとき、$A = \boxed{イ}$、$\boxed{ウ} \le a \le \boxed{エ}$ のとき、$A = \boxed{オ}$、$a < \boxed{カキ}$ のとき、$A = \boxed{ケ}$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解する。

$9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$

よって、$A = \sqrt{(3a - 1)^2} + |a+2| = |3a-1| + |a+2|$ となる。

次に、絶対値を外すために場合分けを行う。

(i) $3a-1 \ge 0$ かつ $a+2 \ge 0$ のとき、つまり $a \ge \frac{1}{3}$ かつ $a \ge -2$ のとき、$a \ge \frac{1}{3}$

このとき、$A = (3a-1) + (a+2) = 4a + 1$

(ii) $3a-1 < 0$ かつ $a+2 \ge 0$ のとき、つまり $a < \frac{1}{3}$ かつ $a \ge -2$ のとき、$-2 \le a < \frac{1}{3}$

このとき、$A = -(3a-1) + (a+2) = -3a + 1 + a + 2 = -2a + 3$

(iii) $3a-1 < 0$ かつ $a+2 < 0$ のとき、つまり $a < \frac{1}{3}$ かつ $a < -2$ のとき、$a < -2$

このとき、$A = -(3a-1) - (a+2) = -3a + 1 - a - 2 = -4a - 1$

以上の結果より、

- $a > \frac{1}{3}$ のとき、$A = 4a+1$

- $-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき、$A = -2a+3$

- $a < -2$ のとき、$A = -4a-1$

3. 最終的な答え

ア: 1/3 (これは小数なので 1,3)

イ: 3

ウ: -2

エ: 1/3 (これは小数なので 1,3)

オ: -2a+3 (選択肢6)

カキ: -2

ケ: -4a-1 (選択肢2)