この問題は、以下の2つのパートから構成されています。 1. 力のモーメント：指定された点に作用する力による、原点に関する力のモーメントを求めます。 * a. 点(3,0,0)にy軸方向に大きさ2の力、点(0,2,0)にx軸方向に大きさ4の力が作用する場合。 * b. 点(2,0,-1)に力 $\vec{F} = \vec{i} - 2\vec{j}$ が作用する場合。

1. 問題の内容

この問題は、以下の2つのパートから構成されています。

1. 力のモーメント：指定された点に作用する力による、原点に関する力のモーメントを求めます。

* a. 点(3,0,0)にy軸方向に大きさ2の力、点(0,2,0)にx軸方向に大きさ4の力が作用する場合。

* b. 点(2,0,-1)に力 $\vec{F} = \vec{i} - 2\vec{j}$ が作用する場合。

2. 角運動量：指定された運動をする質点の、原点に関する角運動量を求めます。質量は $m$ とします。

* a. 位置ベクトルが $\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$ で与えられる場合。

* b. $xy$ 平面内で原点を中心とする半径 $R$、角速度 $\omega$ の等速円運動を行う場合。

2. 解き方の手順

**

1. 力のモーメント**

力のモーメント $\vec{\tau}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ と力 $\vec{F}$ の外積で計算されます。

$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

* a. 2つの力によるモーメントの和を計算します。

* 点(3,0,0)に作用する力は $\vec{F}_1 = 2\vec{j}$ であり、位置ベクトルは $\vec{r}_1 = 3\vec{i}$ です。

* 点(0,2,0)に作用する力は $\vec{F}_2 = 4\vec{i}$ であり、位置ベクトルは $\vec{r}_2 = 2\vec{j}$ です。

* それぞれの力のモーメントを計算し、それらを足し合わせます。

$\vec{\tau}_1 = \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 = 3\vec{i} \times 2\vec{j} = 6\vec{k}$

$\vec{\tau}_2 = \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = 2\vec{j} \times 4\vec{i} = -8\vec{k}$

$\vec{\tau} = \vec{\tau}_1 + \vec{\tau}_2 = 6\vec{k} - 8\vec{k} = -2\vec{k}$

* b. 与えられた位置ベクトルと力を使って、力のモーメントを計算します。

$\vec{r} = 2\vec{i} - \vec{k}$

$\vec{F} = \vec{i} - 2\vec{j}$

$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (2\vec{i} - \vec{k}) \times (\vec{i} - 2\vec{j}) = 2\vec{i} \times \vec{i} - 4\vec{i} \times \vec{j} - \vec{k} \times \vec{i} + 2\vec{k} \times \vec{j} = 0 - 4\vec{k} - \vec{j} - 2\vec{i} = -2\vec{i} - \vec{j} - 4\vec{k}$

**

2. 角運動量**

角運動量 $\vec{L}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ と運動量 $\vec{p}$ の外積で計算されます。運動量 $\vec{p}$ は質量 $m$ と速度 $\vec{v}$ の積で表されます。

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$

* a. 位置ベクトル $\vec{r}(t)$ が与えられているので、速度 $\vec{v}(t)$ を時間で微分して求めます。

$\vec{r}(t) = t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}$

$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \vec{i} - t\vec{j}$

$\vec{L} = \vec{r}(t) \times (m\vec{v}(t)) = (t\vec{i} - \frac{1}{2}t^2\vec{j}) \times m(\vec{i} - t\vec{j}) = mt\vec{i} \times \vec{i} - mt^2\vec{i} \times \vec{j} - \frac{1}{2}mt^2\vec{j} \times \vec{i} + \frac{1}{2}mt^3\vec{j} \times \vec{j} = 0 - mt^2\vec{k} + \frac{1}{2}mt^2\vec{k} + 0 = -\frac{1}{2}mt^2\vec{k}$

* b. 等速円運動の場合、位置ベクトルは $\vec{r} = R\cos(\omega t)\vec{i} + R\sin(\omega t)\vec{j}$ と表されます。速度ベクトルは、位置ベクトルを時間で微分することで求められます。

$\vec{r} = R\cos(\omega t)\vec{i} + R\sin(\omega t)\vec{j}$

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -R\omega\sin(\omega t)\vec{i} + R\omega\cos(\omega t)\vec{j}$

$\vec{L} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = (R\cos(\omega t)\vec{i} + R\sin(\omega t)\vec{j}) \times m(-R\omega\sin(\omega t)\vec{i} + R\omega\cos(\omega t)\vec{j}) = -mR^2\omega\cos(\omega t)\sin(\omega t)\vec{i} \times \vec{i} + mR^2\omega\cos^2(\omega t)\vec{i} \times \vec{j} - mR^2\omega\sin^2(\omega t)\vec{j} \times \vec{i} + mR^2\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t)\vec{j} \times \vec{j} = 0 + mR^2\omega\cos^2(\omega t)\vec{k} + mR^2\omega\sin^2(\omega t)\vec{k} + 0 = mR^2\omega(\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t))\vec{k} = mR^2\omega\vec{k}$

3. 最終的な答え

1. 力のモーメント

* a. $\vec{\tau} = -2\vec{k}$

* b. $\vec{\tau} = -2\vec{i} - \vec{j} - 4\vec{k}$

2. 角運動量

* a. $\vec{L} = -\frac{1}{2}mt^2\vec{k}$

* b. $\vec{L} = mR^2\omega\vec{k}$