与えられた関数 $y = \log_e (5x^2 + 3)$ の導関数が $y' = \frac{ax}{5x^2 + 3}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log_e (5x^2 + 3)$ の導関数が $y' = \frac{ax}{5x^2 + 3}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を $x$ について微分する。

$y = \log_e (5x^2 + 3)$ より、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \log_e (5x^2 + 3)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5x^2 + 3} \cdot \frac{d}{dx}(5x^2 + 3)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5x^2 + 3} \cdot (10x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{10x}{5x^2 + 3}$

与えられた導関数 $y' = \frac{ax}{5x^2 + 3}$ と、計算した導関数 $\frac{dy}{dx} = \frac{10x}{5x^2 + 3}$ を比較する。

$\frac{ax}{5x^2 + 3} = \frac{10x}{5x^2 + 3}$

両辺の分子を比較すると、$ax = 10x$ となる。

したがって、$a = 10$ である。

3. 最終的な答え

10