与えられた5つの広義積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ (2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ (3) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$ (5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの広義積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$

(3) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

まず不定積分を計算します。

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

次に、広義積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} - (-e^{-0})) = \lim_{t \to \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$

まず不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$

次に、広義積分を計算します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{t} \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{t \to \infty} [\arctan x]_{-t}^{t} = \lim_{t \to \infty} (\arctan t - \arctan (-t)) = \lim_{t \to \infty} (\arctan t + \arctan t) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

(3) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$

部分積分を使って計算します。

$u = x, dv = e^{-2x} dx$とすると、$du = dx, v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$となるので

$\int xe^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \int (-\frac{1}{2}e^{-2x}) dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}]_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} - (0 - \frac{1}{4})) = \lim_{t \to \infty} (-\frac{t}{2e^{2t}} - \frac{1}{4e^{2t}} + \frac{1}{4})$

ここで、$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}}$はロピタルの定理より0となる。$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2t}} = 0$なので、

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = 0 - 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$

部分積分を2回使う。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$とする。

$u = \sin x, dv = e^{-x} dx$とすると、$du = \cos x dx, v = -e^{-x}$

$I = [-e^{-x} \sin x]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-x} \cos x dx = 0 + \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos x dx$

$u = \cos x, dv = e^{-x} dx$とすると、$du = -\sin x dx, v = -e^{-x}$

$I = [-e^{-x} \cos x]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-x} (-\sin x) dx = (0 - (-1)) - \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx = 1 - I$

$I = 1 - I$

$2I = 1$

$I = \frac{1}{2}$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\ln |\cos x| + C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} \int_{0}^{t} \tan x dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} [-\ln |\cos x|]_{0}^{t} = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} (-\ln |\cos t| - (-\ln |\cos 0|)) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} (-\ln |\cos t|) = - \ln 0 = \infty$

発散する。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\pi$

(3) $\frac{1}{4}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) 発散する