提示された問題はフーリエ解析に関するもので、具体的には、フーリエ級数、複素フーリエ級数、フーリエ変換、フーリエ正弦変換、フーリエ円環（おそらくフーリエ変換のこと）、スペクトルを求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

提示された問題はフーリエ解析に関するもので、具体的には、フーリエ級数、複素フーリエ級数、フーリエ変換、フーリエ正弦変換、フーリエ円環（おそらくフーリエ変換のこと）、スペクトルを求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

ここでは、問題全体を解くのではなく、例として問題１を解く手順を説明します。

問題1: 次の周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求めよ。

$f(x) = \begin{cases} x & (-\pi \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < \pi) \end{cases}$, $f(x+2\pi) = f(x)$

フーリエ級数は一般に以下のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、次のように計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

この問題の場合、$f(x)$ は $-\pi$ から $0$ の範囲で $x$ であり、 $0$ から $\pi$ の範囲で $0$ であるため、積分範囲を $-\pi$ から $0$ に変更できます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{\pi} (0 - \frac{\pi^2}{2}) = -\frac{\pi}{2}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos(nx) dx$

部分積分を使って計算します。$u = x$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$ となります。

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x}{n} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{0} - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \frac{1}{n} \sin(nx) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} (0 - \frac{-\pi}{n} \sin(-n\pi)) + \frac{1}{n\pi} \left[ \frac{1}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{0}$

$\sin(-n\pi) = 0$ なので、

$a_n = \frac{1}{n^2 \pi} (\cos(0) - \cos(-n\pi)) = \frac{1}{n^2 \pi} (1 - \cos(n\pi))$

$\cos(n\pi) = (-1)^n$ なので、

$a_n = \frac{1}{n^2 \pi} (1 - (-1)^n)$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin(nx) dx$

部分積分を使って計算します。$u = x$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$ となります。

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{0} - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} -\frac{1}{n} \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} (0 - (-\frac{-\pi}{n} \cos(-n\pi))) + \frac{1}{n\pi} \int_{-\pi}^{0} \cos(nx) dx$

$b_n = -\frac{1}{n} \cos(-n\pi) + \frac{1}{n\pi} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{0}$

$b_n = -\frac{1}{n} (-1)^n + \frac{1}{n^2\pi} (\sin(0) - \sin(-n\pi)) = -\frac{(-1)^n}{n}$

これで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ が求まりました。

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 - (-1)^n}{n^2 \pi} \cos(nx) - \frac{(-1)^n}{n} \sin(nx) \right)$