周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} x & (-\pi \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < \pi) \end{cases} $ この関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求める問題です。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} x & (-\pi \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < \pi) \end{cases}$

この関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

フーリエ級数は一般的に次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、次のように計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

与えられた関数を代入して計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 0 dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{\pi} \left( 0 - \frac{\pi^2}{2} \right) = -\frac{\pi}{2}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos(nx) dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 0 \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos(nx) dx$

部分積分を使って計算します。

$\int x \cos(nx) dx = \frac{x}{n} \sin(nx) + \frac{1}{n^2} \cos(nx)$

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x}{n} \sin(nx) + \frac{1}{n^2} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n^2} - \left( \frac{-\pi}{n} \sin(-n\pi) + \frac{1}{n^2} \cos(-n\pi) \right) \right] = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2} \cos(n\pi) \right] = \frac{1}{\pi n^2} (1 - (-1)^n)$

したがって、

$a_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ is even}) \\ \frac{2}{\pi n^2} & (n \text{ is odd}) \end{cases}$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin(nx) dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 0 \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin(nx) dx$

部分積分を使って計算します。

$\int x \sin(nx) dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx)$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{\pi} \left[ 0 - \left( \frac{\pi}{n} \cos(-n\pi) + 0 \right) \right] = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\pi}{n} (-1)^n \right) = -\frac{(-1)^n}{n} = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

したがって、

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 - (-1)^n}{\pi n^2} \cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \right)$

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{\pi (2k+1)^2} \cos((2k+1)x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{\pi (2k+1)^2} \cos((2k+1)x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$