周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求めます。関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x & (-\pi \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < \pi) \end{cases}$ また、$f(x+2\pi) = f(x)$です。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ のフーリエ級数を求めます。関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x & (-\pi \le x < 0) \\ 0 & (0 \le x < \pi) \end{cases}$

また、$f(x+2\pi) = f(x)$です。

2. 解き方の手順

フーリエ級数は次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、次のように計算できます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 0 dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{0} + 0 = \frac{1}{\pi} (0 - \frac{\pi^2}{2}) = -\frac{\pi}{2}$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos(nx) dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 0 \cdot \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \cos(nx) dx$

部分積分を用いて計算します。$u=x$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$ となります。

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x}{n} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{0} - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \frac{1}{n} \sin(nx) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0 - \frac{-\pi}{n} \sin(-n\pi) \right] - \frac{1}{n\pi} \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{0} = 0 + \frac{1}{n^2\pi} \left[ \cos(nx) \right]_{-\pi}^{0}$

$a_n = \frac{1}{n^2\pi} (\cos(0) - \cos(-n\pi)) = \frac{1}{n^2\pi} (1 - (-1)^n)$

$a_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ is even}) \\ \frac{2}{n^2\pi} & (n \text{ is odd}) \end{cases}$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin(nx) dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 0 \cdot \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} x \sin(nx) dx$

部分積分を用いて計算します。$u=x$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$ となります。

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{-\pi}^{0} - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} -\frac{1}{n} \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0 - (-\frac{-\pi}{n} \cos(-n\pi)) \right] + \frac{1}{n\pi} \int_{-\pi}^{0} \cos(nx) dx$

$b_n = -\frac{1}{n} (-1)^n + \frac{1}{n\pi} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{-\pi}^{0} = -\frac{1}{n} (-1)^n + \frac{1}{n^2\pi} (\sin(0) - \sin(-n\pi))$

$b_n = -\frac{1}{n} (-1)^n + 0 = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

したがって、フーリエ級数は次のようになります。

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 - (-1)^n}{n^2\pi} \cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \right)$

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)^2\pi} \cos((2k+1)x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)^2\pi} \cos((2k+1)x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)$

または

$f(x) = -\frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 - (-1)^n}{n^2\pi} \cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \right)$