関数 $f(\theta) = \cos \theta$ の導関数を、導関数の定義式 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ を用いて計算します。ただし、$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および和積の公式を利用します。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \cos \theta$ の導関数を、導関数の定義式 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ を用いて計算します。ただし、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および和積の公式を利用します。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義式に $f(\theta) = \cos \theta$ を代入します。

$f'(\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\theta + h) - \cos \theta}{h}$

次に、和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いて、$\cos(\theta + h) - \cos \theta$ を変形します。

$A = \theta + h$、 $B = \theta$ とすると、

$\cos(\theta + h) - \cos \theta = -2 \sin \frac{(\theta + h) + \theta}{2} \sin \frac{(\theta + h) - \theta}{2} = -2 \sin \frac{2\theta + h}{2} \sin \frac{h}{2} = -2 \sin(\theta + \frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}$

これを導関数の式に代入します。

$f'(\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin(\theta + \frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} - \sin(\theta + \frac{h}{2}) \cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$

ここで、$h \to 0$ のとき $\frac{h}{2} \to 0$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = 1$ となります。

また、$h \to 0$ のとき $\theta + \frac{h}{2} \to \theta$ であるから、$\lim_{h \to 0} -\sin(\theta + \frac{h}{2}) = -\sin \theta$ となります。

したがって、

$f'(\theta) = - \sin \theta \cdot 1 = - \sin \theta$

3. 最終的な答え

$f'(\theta) = -\sin \theta$