与えられた積分 $\int \frac{\cos x}{\sin x(1+\cos^2 x)}dx$ を計算します。

解析学積分三角関数置換積分部分分数分解
2025/7/18

1. 問題の内容

与えられた積分 cosxsinx(1+cos2x)dx\int \frac{\cos x}{\sin x(1+\cos^2 x)}dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 を利用して、被積分関数の分母にある cos2x\cos^2 xcos2x=1sin2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x で置き換えます。
すると、与えられた積分は
cosxsinx(1+1sin2x)dx=cosxsinx(2sin2x)dx\int \frac{\cos x}{\sin x(1 + 1 - \sin^2 x)} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x(2 - \sin^2 x)} dx
となります。
ここで、u=sinxu = \sin x と置換すると、du=cosxdxdu = \cos x dx となります。
したがって、積分は
duu(2u2)\int \frac{du}{u(2 - u^2)}
と書き換えられます。
次に、部分分数分解を行います。
1u(2u2)=Au+B2u+C2+u\frac{1}{u(2 - u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{\sqrt{2} - u} + \frac{C}{\sqrt{2} + u}
両辺に u(2u2)u(2 - u^2) を掛けると
1=A(2u2)+Bu(2+u)+Cu(2u)1 = A(2 - u^2) + Bu(\sqrt{2} + u) + Cu(\sqrt{2} - u)
1=2AAu2+B2u+Bu2+C2uCu21 = 2A - Au^2 + B\sqrt{2}u + Bu^2 + C\sqrt{2}u - Cu^2
1=2A+(B2+C2)u+(A+BC)u21 = 2A + (B\sqrt{2} + C\sqrt{2})u + (-A + B - C)u^2
係数を比較すると
2A=1    A=122A = 1 \implies A = \frac{1}{2}
B2+C2=0    B=CB\sqrt{2} + C\sqrt{2} = 0 \implies B = -C
A+BC=0    12+B(B)=0    2B=12    B=14-A + B - C = 0 \implies -\frac{1}{2} + B - (-B) = 0 \implies 2B = \frac{1}{2} \implies B = \frac{1}{4}
C=B=14C = -B = -\frac{1}{4}
したがって、部分分数分解は
1u(2u2)=1/2u+1/42u1/42+u\frac{1}{u(2 - u^2)} = \frac{1/2}{u} + \frac{1/4}{\sqrt{2} - u} - \frac{1/4}{\sqrt{2} + u}
となります。
積分を計算すると
duu(2u2)=12duu+14du2u14du2+u\int \frac{du}{u(2 - u^2)} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} + \frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2} - u} - \frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2} + u}
=12lnu14ln2u14ln2+u+C= \frac{1}{2}\ln|u| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{2} - u| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{2} + u| + C
=12lnu14ln(2u)(2+u)+C= \frac{1}{2}\ln|u| - \frac{1}{4}\ln|(\sqrt{2} - u)(\sqrt{2} + u)| + C
=12lnu14ln2u2+C= \frac{1}{2}\ln|u| - \frac{1}{4}\ln|2 - u^2| + C
u=sinxu = \sin x を代入すると
=12lnsinx14ln2sin2x+C= \frac{1}{2}\ln|\sin x| - \frac{1}{4}\ln|2 - \sin^2 x| + C
2sin2x=1+(1sin2x)=1+cos2x2 - \sin^2 x = 1 + (1 - \sin^2 x) = 1 + \cos^2 x なので、
=12lnsinx14ln1+cos2x+C= \frac{1}{2}\ln|\sin x| - \frac{1}{4}\ln|1 + \cos^2 x| + C

3. 最終的な答え

12lnsinx14ln(1+cos2x)+C\frac{1}{2}\ln|\sin x| - \frac{1}{4}\ln(1 + \cos^2 x) + C

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