与えられた積分 $\int \frac{\cos x}{\sin x(1+\cos^2 x)}dx$ を計算します。解析学積分三角関数置換積分部分分数分解2025/7/181. 問題の内容与えられた積分 ∫cosxsinx(1+cos2x)dx\int \frac{\cos x}{\sin x(1+\cos^2 x)}dx∫sinx(1+cos2x)cosxdx を計算します。2. 解き方の手順まず、三角関数の恒等式 sin2x+cos2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1sin2x+cos2x=1 を利用して、被積分関数の分母にある cos2x\cos^2 xcos2x を cos2x=1−sin2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 xcos2x=1−sin2x で置き換えます。すると、与えられた積分は∫cosxsinx(1+1−sin2x)dx=∫cosxsinx(2−sin2x)dx\int \frac{\cos x}{\sin x(1 + 1 - \sin^2 x)} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x(2 - \sin^2 x)} dx∫sinx(1+1−sin2x)cosxdx=∫sinx(2−sin2x)cosxdxとなります。ここで、u=sinxu = \sin xu=sinx と置換すると、du=cosxdxdu = \cos x dxdu=cosxdx となります。したがって、積分は∫duu(2−u2)\int \frac{du}{u(2 - u^2)}∫u(2−u2)duと書き換えられます。次に、部分分数分解を行います。1u(2−u2)=Au+B2−u+C2+u\frac{1}{u(2 - u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{\sqrt{2} - u} + \frac{C}{\sqrt{2} + u}u(2−u2)1=uA+2−uB+2+uC両辺に u(2−u2)u(2 - u^2)u(2−u2) を掛けると1=A(2−u2)+Bu(2+u)+Cu(2−u)1 = A(2 - u^2) + Bu(\sqrt{2} + u) + Cu(\sqrt{2} - u)1=A(2−u2)+Bu(2+u)+Cu(2−u)1=2A−Au2+B2u+Bu2+C2u−Cu21 = 2A - Au^2 + B\sqrt{2}u + Bu^2 + C\sqrt{2}u - Cu^21=2A−Au2+B2u+Bu2+C2u−Cu21=2A+(B2+C2)u+(−A+B−C)u21 = 2A + (B\sqrt{2} + C\sqrt{2})u + (-A + B - C)u^21=2A+(B2+C2)u+(−A+B−C)u2係数を比較すると2A=1 ⟹ A=122A = 1 \implies A = \frac{1}{2}2A=1⟹A=21B2+C2=0 ⟹ B=−CB\sqrt{2} + C\sqrt{2} = 0 \implies B = -CB2+C2=0⟹B=−C−A+B−C=0 ⟹ −12+B−(−B)=0 ⟹ 2B=12 ⟹ B=14-A + B - C = 0 \implies -\frac{1}{2} + B - (-B) = 0 \implies 2B = \frac{1}{2} \implies B = \frac{1}{4}−A+B−C=0⟹−21+B−(−B)=0⟹2B=21⟹B=41C=−B=−14C = -B = -\frac{1}{4}C=−B=−41したがって、部分分数分解は1u(2−u2)=1/2u+1/42−u−1/42+u\frac{1}{u(2 - u^2)} = \frac{1/2}{u} + \frac{1/4}{\sqrt{2} - u} - \frac{1/4}{\sqrt{2} + u}u(2−u2)1=u1/2+2−u1/4−2+u1/4となります。積分を計算すると∫duu(2−u2)=12∫duu+14∫du2−u−14∫du2+u\int \frac{du}{u(2 - u^2)} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} + \frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2} - u} - \frac{1}{4} \int \frac{du}{\sqrt{2} + u}∫u(2−u2)du=21∫udu+41∫2−udu−41∫2+udu=12ln∣u∣−14ln∣2−u∣−14ln∣2+u∣+C= \frac{1}{2}\ln|u| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{2} - u| - \frac{1}{4}\ln|\sqrt{2} + u| + C=21ln∣u∣−41ln∣2−u∣−41ln∣2+u∣+C=12ln∣u∣−14ln∣(2−u)(2+u)∣+C= \frac{1}{2}\ln|u| - \frac{1}{4}\ln|(\sqrt{2} - u)(\sqrt{2} + u)| + C=21ln∣u∣−41ln∣(2−u)(2+u)∣+C=12ln∣u∣−14ln∣2−u2∣+C= \frac{1}{2}\ln|u| - \frac{1}{4}\ln|2 - u^2| + C=21ln∣u∣−41ln∣2−u2∣+Cu=sinxu = \sin xu=sinx を代入すると=12ln∣sinx∣−14ln∣2−sin2x∣+C= \frac{1}{2}\ln|\sin x| - \frac{1}{4}\ln|2 - \sin^2 x| + C=21ln∣sinx∣−41ln∣2−sin2x∣+C2−sin2x=1+(1−sin2x)=1+cos2x2 - \sin^2 x = 1 + (1 - \sin^2 x) = 1 + \cos^2 x2−sin2x=1+(1−sin2x)=1+cos2x なので、=12ln∣sinx∣−14ln∣1+cos2x∣+C= \frac{1}{2}\ln|\sin x| - \frac{1}{4}\ln|1 + \cos^2 x| + C=21ln∣sinx∣−41ln∣1+cos2x∣+C3. 最終的な答え12ln∣sinx∣−14ln(1+cos2x)+C\frac{1}{2}\ln|\sin x| - \frac{1}{4}\ln(1 + \cos^2 x) + C21ln∣sinx∣−41ln(1+cos2x)+C