$y = \sin(x_1 x_2)$ の全微分を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \sin(x_1 x_2)$ の全微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

全微分は、各変数に関する偏微分と、それぞれの変数の微小変化の積の和で表されます。つまり、

$dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2} dx_2$

まず、$x_1$ に関する偏微分を計算します。

$\frac{\partial y}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} \sin(x_1 x_2) = \cos(x_1 x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 x_2) = \cos(x_1 x_2) \cdot x_2 = x_2 \cos(x_1 x_2)$

次に、$x_2$ に関する偏微分を計算します。

$\frac{\partial y}{\partial x_2} = \frac{\partial}{\partial x_2} \sin(x_1 x_2) = \cos(x_1 x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 x_2) = \cos(x_1 x_2) \cdot x_1 = x_1 \cos(x_1 x_2)$

したがって、全微分は次のようになります。

$dy = x_2 \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cos(x_1 x_2) dx_2$

3. 最終的な答え

$dy = x_2 \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cos(x_1 x_2) dx_2$