領域Dで定義された二重積分 $I = \iint_D (x^2+y) \, dx \, dy$ を計算する問題です。ここで、Dは曲線 $y=x^2-x$ と直線 $y=x$ で囲まれた領域です。問題は、(1) Dを集合の記号で表し、(2) Iを累次積分に直し、(3) Iを計算し、(4) 累次積分の積分順序を変更してIを求める、という4つのパートに分かれています。

1. 問題の内容

領域Dで定義された二重積分 $I = \iint_D (x^2+y) \, dx \, dy$ を計算する問題です。ここで、Dは曲線 $y=x^2-x$ と直線 $y=x$ で囲まれた領域です。問題は、(1) Dを集合の記号で表し、(2) Iを累次積分に直し、(3) Iを計算し、(4) 累次積分の積分順序を変更してIを求める、という4つのパートに分かれています。

2. 解き方の手順

(1) Dを集合の記号で表す:

Dは、$0 \le x \le 2$ かつ $x^2 - x \le y \le x$ を満たす$(x, y)$の集合として表せます。

$D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 2, \, x^2 - x \le y \le x \}$

(2) Iを累次積分に直す:

Dの定義より、Iは次のように累次積分で表せます。

$I = \int_0^2 \int_{x^2-x}^x (x^2 + y) \, dy \, dx$

(3) Iを求める:

まず、内側の積分を計算します。

$\int_{x^2-x}^x (x^2 + y) \, dy = [x^2y + \frac{1}{2}y^2]_{x^2-x}^x$

$= (x^3 + \frac{1}{2}x^2) - (x^2(x^2-x) + \frac{1}{2}(x^2-x)^2)$

$= (x^3 + \frac{1}{2}x^2) - (x^4-x^3 + \frac{1}{2}(x^4 - 2x^3 + x^2))$

$= x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2$

$= - \frac{3}{2}x^4 + 3x^3$

次に、外側の積分を計算します。

$I = \int_0^2 (-\frac{3}{2}x^4 + 3x^3) \, dx = [-\frac{3}{10}x^5 + \frac{3}{4}x^4]_0^2$

$= -\frac{3}{10}(2^5) + \frac{3}{4}(2^4)$

$= -\frac{3}{10}(32) + \frac{3}{4}(16)$

$= -\frac{96}{10} + 12 = -\frac{48}{5} + \frac{60}{5} = \frac{12}{5}$

(4) 積分順序を変更する。

$y=x^2-x$ より $x^2-x-y=0$ よって $x=\frac{1\pm \sqrt{1+4y}}{2}$

図より $x$ の積分範囲は $x = \frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}$ から $x= \frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}$ そして $y = x^2-x$ と $y=x$ の交点は $x=0,2$ であり $y$ の積分範囲は $0 \le y \le 2$ である。

$I=\int_0^2 \int_{\frac{1-\sqrt{1+4y}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{1+4y}}{2}} (x^2+y) dx dy$

この積分を計算しても $I=12/5$ となるはずである。

3. 最終的な答え

(3) $I = \frac{12}{5}$