関数 $y = \sin(x_1 x_2)$ の全微分を求めます。

解析学偏微分全微分多変数関数sin関数
2025/7/18

1. 問題の内容

関数 y=sin(x1x2)y = \sin(x_1 x_2) の全微分を求めます。

2. 解き方の手順

全微分は、各変数に関する偏微分に、その変数の微小変化を掛けたものの和で表されます。
まず、yyx1x_1 で偏微分します。
yx1=x1sin(x1x2)=cos(x1x2)x1(x1x2)=x2cos(x1x2)\frac{\partial y}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} \sin(x_1 x_2) = \cos(x_1 x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 x_2) = x_2 \cos(x_1 x_2)
次に、yyx2x_2 で偏微分します。
yx2=x2sin(x1x2)=cos(x1x2)x2(x1x2)=x1cos(x1x2)\frac{\partial y}{\partial x_2} = \frac{\partial}{\partial x_2} \sin(x_1 x_2) = \cos(x_1 x_2) \cdot \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 x_2) = x_1 \cos(x_1 x_2)
全微分 dydy は、以下の式で与えられます。
dy=yx1dx1+yx2dx2dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2} dx_2
偏微分の結果を代入すると、
dy=x2cos(x1x2)dx1+x1cos(x1x2)dx2dy = x_2 \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cos(x_1 x_2) dx_2

3. 最終的な答え

dy=x2cos(x1x2)dx1+x1cos(x1x2)dx2dy = x_2 \cos(x_1 x_2) dx_1 + x_1 \cos(x_1 x_2) dx_2

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