黒石4個、白石2個の入った袋から3個の石を同時に取り出すとき、出る黒石の個数を$X$とする。$X$の期待値$E(X)$、分散$V(X)$、標準偏差$\sigma(X)$を求める問題です。

1. 問題の内容

黒石4個、白石2個の入った袋から3個の石を同時に取り出すとき、出る黒石の個数を$X$とする。$X$の期待値$E(X)$、分散$V(X)$、標準偏差$\sigma(X)$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、石の取り出し方は全部で ${}_6 \mathrm{C}_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りあります。

$X$の取りうる値は0, 1, 2, 3です。それぞれの確率を計算します。

- $X=0$のとき（黒石0個、白石3個）：ありえないので、確率は0です。(${}_4 \mathrm{C}_0 \times {}_2 \mathrm{C}_3 = 1 \times 0 = 0$)

- $X=1$のとき（黒石1個、白石2個）：確率は $\frac{{}_4 \mathrm{C}_1 \times {}_2 \mathrm{C}_2}{{}_6 \mathrm{C}_3} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

- $X=2$のとき（黒石2個、白石1個）：確率は $\frac{{}_4 \mathrm{C}_2 \times {}_2 \mathrm{C}_1}{{}_6 \mathrm{C}_3} = \frac{6 \times 2}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

- $X=3$のとき（黒石3個、白石0個）：確率は $\frac{{}_4 \mathrm{C}_3 \times {}_2 \mathrm{C}_0}{{}_6 \mathrm{C}_3} = \frac{4 \times 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

期待値$E(X)$は、

$E(X) = 0 \times 0 + 1 \times \frac{1}{5} + 2 \times \frac{3}{5} + 3 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5} + \frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{10}{5} = 2$

次に、分散$V(X)$を求めます。

$E(X^2) = 0^2 \times 0 + 1^2 \times \frac{1}{5} + 2^2 \times \frac{3}{5} + 3^2 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5} + \frac{12}{5} + \frac{9}{5} = \frac{22}{5}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{22}{5} - 2^2 = \frac{22}{5} - 4 = \frac{22 - 20}{5} = \frac{2}{5}$

最後に、標準偏差$\sigma(X)$は、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

$E(X) = 2$ (選択肢1)

$V(X) = \frac{2}{5}$ (選択肢5)

$\sigma(X) = \frac{\sqrt{10}}{5}$ (選択肢7)