A君とB君がそれぞれ5枚のコインを持ってゲームをする。負けた方がコインを1枚箱に入れる。A君が勝つ確率は$2/3$、B君が勝つ確率は$1/3$である。 (1) 箱の中にコインが4枚になったとき、A君とB君の手持ちのコインの枚数が等しい確率を求める。 (2) 箱の中にコインが5枚になったとき、A君の手持ちのコインがB君の手持ちのコインより2枚以上多い確率を求める。 (3) ゲームの結果、A君またはB君のコインが無くなったとき、他方の手持ちのコインが3枚である確率を求める。

1. 問題の内容

A君とB君がそれぞれ5枚のコインを持ってゲームをする。負けた方がコインを1枚箱に入れる。A君が勝つ確率は$2/3$、B君が勝つ確率は$1/3$である。

(1) 箱の中にコインが4枚になったとき、A君とB君の手持ちのコインの枚数が等しい確率を求める。

(2) 箱の中にコインが5枚になったとき、A君の手持ちのコインがB君の手持ちのコインより2枚以上多い確率を求める。

(3) ゲームの結果、A君またはB君のコインが無くなったとき、他方の手持ちのコインが3枚である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 箱の中にコインが4枚になったとき、A君とB君の手持ちのコインの枚数が等しいのは、A君とB君がそれぞれ2回勝つ場合である。A君が$x$回、B君が$4-x$回勝つとき、A君の手持ちのコインは$5 - (4-x) = x+1$枚、B君の手持ちのコインは$5 - x$枚となる。$x+1 = 5-x$ より、$2x = 4$、$x = 2$となる。

したがって、A君が2回、B君が2回勝つ確率を求めればよい。

これは二項分布に従うので、確率は

$\binom{4}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

(2) 箱の中にコインが5枚になったとき、A君の手持ちのコインがB君の手持ちのコインより2枚以上多いのは、A君が$x$回、B君が$5-x$回勝つとき、A君の手持ちのコインは$5 - (5-x) = x$枚、B君の手持ちのコインは$5-x$枚となる。$x \geq (5-x) + 2$ より、$2x \geq 7$、$x \geq 3.5$となる。つまり、$x = 4, 5$のとき条件を満たす。

A君が4回、B君が1回勝つ確率は、$\binom{5}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1 = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$

A君が5回勝つ確率は、$\binom{5}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{32}{243} \times 1 = \frac{32}{243}$

したがって、求める確率は $\frac{80}{243} + \frac{32}{243} = \frac{112}{243}$

(3) A君またはB君のコインが無くなったとき、他方の手持ちのコインが3枚であることはありえない。なぜなら、A君のコインが無くなった時、B君は10枚のコインを持っているが、ありえるのは5枚のコインを所持してゲームを開始し、A君が所持していた5枚のコインを受け取った場合、つまりコインは5枚のみである。同様にB君のコインが無くなった時も、A君は10枚のコインを持っているが、ありえるのは5枚のコインを所持してゲームを開始し、B君が所持していた5枚のコインを受け取った場合、つまりコインは5枚のみである。したがって、この確率は0である。A君のコインがすべて無くなると、A君は5回負けるので、B君は5回勝つ。このとき、B君の手持ちのコインは$5 + 5 = 10$枚である。これは問題の設定に矛盾する。A君のコインがすべて無くなったとき、B君の手持ちのコインは$5+5 = 10$枚になることはない。B君の手持ちのコインは必ず5枚になる。B君のコインがすべて無くなったときも同様。

A君のコインがすべて無くなるのは、A君が5回負けた場合である。このときB君は5回勝つ。B君が5回勝つ確率は $(\frac{1}{3})^5$である。A君のコインがすべて無くなったとき、B君は5枚のコインを持っている。

B君のコインがすべて無くなるのは、B君が5回負けた場合である。このときA君は5回勝つ。A君が5回勝つ確率は $(\frac{2}{3})^5$である。B君のコインがすべて無くなったとき、A君は5枚のコインを持っている。

A君のコインがすべて無くなったとき、B君の手持ちのコインが3枚であることはありえない。同様にB君のコインがすべて無くなったとき、A君の手持ちのコインが3枚であることはありえない。したがって、確率は0である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{27}$

(2) $\frac{112}{243}$

(3) 0