底面の半径が $3$ cmの円すいを、頂点Oを中心として平面上で転がしたところ、ちょうど6回転してもとの場所に戻った。このとき、円すいの母線の長さと表面積を求める問題。

1. 問題の内容

底面の半径が $3$ cmの円すいを、頂点Oを中心として平面上で転がしたところ、ちょうど6回転してもとの場所に戻った。このとき、円すいの母線の長さと表面積を求める問題。

2. 解き方の手順

* 母線の長さを求める。円すいを転がして元の場所に戻るまでの道のりは、母線を半径とする円周の長さと等しい。底面の円周は $2\pi r$ より $2 \pi \times 3 = 6\pi$ cm。これが6回転するので、母線を半径とする円周は $6\pi \times 6 = 36\pi$ cm。母線の長さを $l$ とすると、$2\pi l = 36\pi$。よって $l = 18$ cm。

* 次に円すいの表面積を求める。円すいの表面積は、底面積と側面積の和である。底面積は$\pi r^2$ より $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$。側面積は、母線の長さが$18$ cm、底面の半径が$3$ cmなので、$\pi r l$ より $\pi \times 3 \times 18 = 54\pi$ cm$^2$。したがって、円すいの表面積は $9\pi + 54\pi = 63\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

円すいの母線の長さ：$18$ cm

円すいの表面積：$63\pi$ cm$^2$