点$(-2, 4)$から円$x^2 + y^2 = 10$に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

点$(-2, 4)$から円$x^2 + y^2 = 10$に引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

接点を$(x_1, y_1)$とおく。

接線の方程式は、

$x_1 x + y_1 y = 10$

この接線は点$(-2, 4)$を通るので、

$-2x_1 + 4y_1 = 10$

$-x_1 + 2y_1 = 5$

$x_1 = 2y_1 - 5$

また、接点$(x_1, y_1)$は円$x^2 + y^2 = 10$上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 10$

$x_1$を代入すると、

$(2y_1 - 5)^2 + y_1^2 = 10$

$4y_1^2 - 20y_1 + 25 + y_1^2 = 10$

$5y_1^2 - 20y_1 + 15 = 0$

$y_1^2 - 4y_1 + 3 = 0$

$(y_1 - 1)(y_1 - 3) = 0$

$y_1 = 1, 3$

$y_1 = 1$のとき、$x_1 = 2(1) - 5 = -3$

$y_1 = 3$のとき、$x_1 = 2(3) - 5 = 1$

したがって、接点は$(-3, 1)$と$(1, 3)$である。

接線の方程式は、

$(-3)x + (1)y = 10$ より $-3x + y = 10$

$(1)x + (3)y = 10$ より $x + 3y = 10$

3. 最終的な答え

接線の方程式：$-3x + y = 10$, $x + 3y = 10$

接点の座標：$(-3, 1)$, $(1, 3)$