直角三角形ABCの内接円と各辺の接点をP, Q, Rとする。∠A=90°, BP=10, PC=3であるとき、∠RPQの大きさと内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCの内接円と各辺の接点をP, Q, Rとする。∠A=90°, BP=10, PC=3であるとき、∠RPQの大きさと内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、BCの長さを求める。三角形BPCにおいて、BP=10, PC=3なので、三平方の定理より

$BC = \sqrt{BP^2 + PC^2} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{100+9} = \sqrt{109}$

次に、ABの長さをx、ACの長さをyとおく。三角形ABCが直角三角形であることから、

$x^2 + y^2 = (\sqrt{109})^2 = 109$

また、$AB = x = BR + RA$、$AC = y = AR + RC$

内接円の半径をrとすると、$BR = BP = 10$、$CP = CQ = 3$。

$x = 10+AR$、$y = 3+AR$

$AR = AQ = r$なので、$x = 10+r$、$y = 3+r$

これを、$x^2 + y^2 = 109$に代入する。

$(10+r)^2 + (3+r)^2 = 109$

$100 + 20r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 109$

$2r^2 + 26r + 109 = 109$

$2r^2 + 26r = 0$

$2r(r+13) = 0$

$r = 0, -13$。rは半径なので、正の数である。計算間違いがある。

$AB = x, AC=y$とすると、$BC = BP+PC = 13$

$x^2 + y^2 = 13^2 = 169$

$x=10+r, y=3+r$

$(10+r)^2 + (3+r)^2 = 169$

$100 + 20r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 169$

$2r^2 + 26r + 109 = 169$

$2r^2 + 26r - 60 = 0$

$r^2 + 13r - 30 = 0$

$(r+15)(r-2)=0$

$r = -15, 2$

$r=2$

次に∠RPQを求める。

∠ARQ = ∠APQ = 90°なので、四角形ARPQは正方形。よって、∠RPA = 45°

∠RPQ = 45°

3. 最終的な答え

内接円の半径は2。

∠RPQ = 45°