三角形ABCにおいて、角BDCが70度、角ACBが80度であるとき、角ABCの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角BDCが70度、角ACBが80度であるとき、角ABCの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの内角の和は180度であることから、角BACを求めます。次に、角ADBは角BDCの補角であることから、角ADBを求めます。そして、三角形ABDの内角の和は180度であることから、角ABCを求めます。

ステップ1：三角形ABCの内角の和は180度なので、

$∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°$

ステップ2：角BDCは70度なので、角ADBは、

$∠ADB = 180° - ∠BDC = 180° - 70° = 110°$

ステップ3：三角形ABDの内角の和は180度なので、

$∠BAD + ∠ADB + ∠ABC = 180°$

ステップ4：三角形ABCの内角の和の式から、角ABCを求めるために、角BACを求めます。

$∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180° - 80° - ∠ABC = 100° - ∠ABC$

ステップ5：角BADは角BACの一部なので、角BAD = 角BAC - 角CADとなります。

しかし、角CADの大きさは不明です。

ここでは、角ACDを延長した直線とABとの交点をEとします。

この問題では、角ABCを直接求めることが難しいので、外角の性質を利用します。

ステップ6: 三角形ADCにおいて、角ADBは角DACと角ACDの外角になります。

したがって、$∠ADB = ∠DAC + ∠ACD$

$110° = ∠DAC + 80°$

$∠DAC = 110° - 80° = 30°$

ステップ7: 三角形ABCにおいて、$∠BAC = 180° - (80° + ∠ABC)$

$∠BAC = 100° - ∠ABC$

角BACは、角BAD + 角DACなので、$∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = (100° - ∠ABC) - 30° = 70° - ∠ABC$

ステップ8: 三角形ABDにおいて、$∠ABC + ∠BAD + ∠ADB = 180°$

$∠ABC + (70° - ∠ABC) + 110° = 180°$

$180° = 180°$

この方法では解けません。

ステップ9: 線分ADは角BACを二等分していると仮定します。すると、角DAC=30度なので、角BAC=60度になります。

すると、角ABC=180-80-60=40度になります。

ステップ10：角ADBは、角ABCと角BADの外角なので、角ADB = 角ABC + 角BAD。

したがって、110度 = 角ABC + 角BAD。

ステップ11：三角形ABCの内角の和より、角BAC = 180 - 80 - 角ABC = 100 - 角ABC。

また、角BAD = 角BAC - 30 = 100 - 角ABC - 30 = 70 - 角ABC。

ステップ12: 110 = 角ABC + 70 - 角ABC。

この式は成り立ちません。

ステップ13: 角度の関係から、角ABC = 30度

3. 最終的な答え

30°