座標平面上の2つの直線 $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -\frac{1}{3}x$ のなす角の大きさを求めます。

1. 問題の内容

座標平面上の2つの直線 $y = \frac{1}{2}x$ と $y = -\frac{1}{3}x$ のなす角の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

直線の傾きと正のx軸となす角の関係を利用します。直線 $y = mx$ が正のx軸となす角を $\theta$ とすると、$m = \tan \theta$ が成り立ちます。

1つ目の直線 $y = \frac{1}{2}x$ について、傾き $m_1 = \frac{1}{2}$ ですから、この直線がx軸となす角 $\theta_1$ は $\tan \theta_1 = \frac{1}{2}$ を満たします。

2つ目の直線 $y = -\frac{1}{3}x$ について、傾き $m_2 = -\frac{1}{3}$ ですから、この直線がx軸となす角 $\theta_2$ は $\tan \theta_2 = -\frac{1}{3}$ を満たします。

2直線のなす角 $\alpha$ は $|\theta_1 - \theta_2|$ で表されます。 $\tan \alpha = \tan |\theta_1 - \theta_2|$ を計算します。

$\tan (\theta_1 - \theta_2) = \frac{\tan \theta_1 - \tan \theta_2}{1 + \tan \theta_1 \tan \theta_2}$ を用います。

$\tan \alpha = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3})}{1 + (\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} \right| = |1| = 1$

$\tan \alpha = 1$ となる角 $\alpha$ を求めます。

$0 < \alpha < \pi$の範囲で$\alpha$を考えると、$\alpha = \frac{\pi}{4}$または$\alpha=45^\circ$となります。

$y = \frac{1}{2}x$ と $y = -\frac{1}{3}x$のなす角は，$\theta$ と $\pi - \theta$ で表されるので, 小さい方の角の大きさを答える。

$\theta = 45^{\circ}$とすると，$\pi - \theta = 135^{\circ}$となるので，小さい方の角の大きさは$45^{\circ}$となります。

3. 最終的な答え

$45^{\circ}$