正方形ABCDがあり、原点を通る直線 $y=mx$ が辺BC, ADとそれぞれ点P, Qで交わっている。四角形ABPQの面積を$a$, 四角形PCDQの面積を$b$とする。 (1) $a=b$のとき、$m$の値を求める。 (2) $m=\frac{3}{2}$のとき、$a:b$を最も簡単な整数比で表す。 (3) $a:b=2:1$のとき、$m$の値を求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、原点を通る直線 $y=mx$ が辺BC, ADとそれぞれ点P, Qで交わっている。四角形ABPQの面積を$a$, 四角形PCDQの面積を$b$とする。

(1) $a=b$のとき、$m$の値を求める。

(2) $m=\frac{3}{2}$のとき、$a:b$を最も簡単な整数比で表す。

(3) $a:b=2:1$のとき、$m$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=b$のとき

正方形ABCDの面積は、四角形ABPQの面積$a$と四角形PCDQの面積$b$の和なので、$a=b$より、$a = b = \frac{1}{2} \times$正方形ABCDの面積となる。

正方形ABCDの1辺の長さは$6-2=4$なので、面積は$4^2=16$である。したがって、$a=b=8$となる。

点Pは直線$y=mx$上にあるので、点Pの$y$座標は$y=mx$を満たす。

点Pの$x$座標は3であり、BPの長さは$y$座標となる。また、AQの長さも点Qの$y$座標である。

四角形ABPQの面積は、$(AP + BQ) \times AB / 2$で求められる。$AB=4$であるから、$(AP+BQ) \times 4 / 2 = 8$となる。よって、$AP+BQ=4$である。

点Pの座標は(3, $3m$)、点Qの座標は(6, $6m$)であるから、$3m+6m=4$となり、$9m=4$。よって、$m=\frac{4}{9}$。

(2) $m=\frac{3}{2}$のとき

点Pの座標は(3, $3m$)=(3, $\frac{9}{2}$)、点Qの座標は(6, $6m$)=(6, 9)である。

しかし、正方形の辺の長さは4なので、$y$座標が4を超えることはない。

よって、点Pの$y$座標は$\frac{9}{2}$ではなく、BPの長さは4を超えることはない。つまり、直線$y=mx$がADやBCを通過しない。

問題文の設定に誤りがあると考えられる。

(3) $a:b=2:1$のとき

正方形ABCDの面積は$a+b$なので、$a+b=16$である。$a:b=2:1$より、$a=\frac{2}{3} \times 16 = \frac{32}{3}$, $b = \frac{1}{3} \times 16 = \frac{16}{3}$となる。

四角形ABPQの面積は、$(AP + BQ) \times AB / 2$で求められる。$AB=4$であるから、$(AP+BQ) \times 4 / 2 = \frac{32}{3}$となる。よって、$AP+BQ=\frac{16}{3}$である。

点Pの座標は(3, $3m$)、点Qの座標は(6, $6m$)であるから、$3m+6m=\frac{16}{3}$となり、$9m=\frac{16}{3}$。よって、$m=\frac{16}{27}$。

3. 最終的な答え

(1) $m = \frac{4}{9}$

(2) 問題文の設定に誤りがあると考えられる。

(3) $m = \frac{16}{27}$