ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$、$\vec{b} = (1, 2)$ が与えられている。 (1) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。 (2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。$t$ が (1) で求めた値のとき、$\theta$ を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$、$\vec{b} = (1, 2)$ が与えられている。

(1) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。

(2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。$t$ が (1) で求めた値のとき、$\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} + t\vec{b} = (3, 1) + t(1, 2) = (3+t, 1+2t)$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (3+t)^2 + (1+2t)^2 = 9+6t+t^2 + 1+4t+4t^2 = 5t^2 + 10t + 10 = 5(t^2 + 2t) + 10 = 5((t+1)^2 - 1) + 10 = 5(t+1)^2 + 5$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ が最小になるのは $t = -1$ のときで、その最小値は $5$ である。

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{5}$ である。

(2)

(1)より $t=-1$ のとき、$\vec{a} + t\vec{b} = (3-1, 1-2) = (2, -1)$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ について、

$\cos{\theta} = \frac{(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + t\vec{b}||\vec{b}|} = \frac{(2, -1) \cdot (1, 2)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2 - 2}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{0}{5} = 0$

よって、$\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{5}$ で、$t=-1$

(2)

$\theta = \frac{\pi}{2}$