問題は、xy平面上の2点(3, 0)と(-3, 0)を焦点とし、これらの2焦点からの距離の差が2であるような点の軌跡である双曲線の方程式を $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$ の形で表したときのBの値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、xy平面上の2点(3, 0)と(-3, 0)を焦点とし、これらの2焦点からの距離の差が2であるような点の軌跡である双曲線の方程式を

$\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$

の形で表したときのBの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の方程式の一般形は、2つの焦点からの距離の差が一定である点の軌跡として定義されます。この問題では、焦点は(3, 0)と(-3, 0)であり、距離の差は2です。

双曲線の方程式は、

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

と表されます。ここで、aは双曲線の中心から頂点までの距離、bは共役軸の長さに関係する値です。焦点間の距離は2cで表され、この問題では2c = 6なので、c = 3です。また、距離の差は2aで表され、この問題では2a = 2なので、a = 1です。

双曲線では、$c^2 = a^2 + b^2$の関係が成り立ちます。したがって、

$b^2 = c^2 - a^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$

となります。

したがって、B = $b^2$ = 8です。

3. 最終的な答え

8