円Oの周上に点A, B, C, Dがあり、三角形ABCは正三角形である。線分BD上に点Eがあり、BE = CDである。 (1) AE = ADであることを証明する。 (2) 点Aから線分BDに下ろした垂線とBDの交点をHとする。AB = 6 cm、角ABD = 45°のとき、 (ア) AHの長さを求める。 (イ) 三角形ABEの面積を求める。

1. 問題の内容

円Oの周上に点A, B, C, Dがあり、三角形ABCは正三角形である。線分BD上に点Eがあり、BE = CDである。

(1) AE = ADであることを証明する。

(2) 点Aから線分BDに下ろした垂線とBDの交点をHとする。AB = 6 cm、角ABD = 45°のとき、

(ア) AHの長さを求める。

(イ) 三角形ABEの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) AE = ADの証明

* $\triangle ABC$が正三角形なので、AB = BC。

* 円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC = 60^\circ$。

* $\angle ABD = \angle ACD$ （円周角の定理）

* $\triangle ABE$と$\triangle ACD$において、

* AB = AC

* BE = CD (仮定)

* $\angle ABE = \angle ACD$ (円周角の定理)

よって、$\triangle ABE \equiv \triangle ACD$ (二辺夾角相等)

したがって、AE = AD

(2)(ア) AHの長さ

* $\triangle ABH$は直角三角形であり、$\angle ABH = 45^\circ$なので、$\triangle ABH$は直角二等辺三角形。

* AH = BH

* $AB^2 = AH^2 + BH^2 = 2AH^2$

* $AH = \frac{AB}{\sqrt{2}}$

* $AB = 6$ cmより、$AH = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ cm

(2)(イ) $\triangle ABE$の面積

* $BH = AH = 3\sqrt{2}$ cm

* $\angle AEB = \angle ACB + \angle EBC$

* $\angle EBC = \angle DBC$なので、$\angle AEB = \angle ACB = 60^\circ$

* BDの長さを求める。$AD=AE, \angle ABD = 45^\circ$

* $BE = CD$

* $\angle AEB= 60^\circ, \angle BAE = 180^\circ - (45^\circ+60^\circ) = 75^\circ$

* $AH = 3\sqrt{2}$

* $AB = 6$

* $BE = x$とすると、$DE = BD - BE, CD = BE$

* $\triangle ABH$は直角二等辺三角形だから、$BH=AH=3\sqrt{2}$.

* $\angle ACB = 60^\circ$

* $AB/sin \angle ADB = 2R$

* $\angle ADB = \angle ACB = 60^\circ$

* $6 / sin 60^\circ = 2R \Rightarrow 6/(\sqrt{3}/2) = 4 \sqrt{3} = 2R$. $R = 2\sqrt{3}$

* $AD=AE$

* $\triangle ABE$の面積を求めるには、AEとBEの長さ、または$\angle AEB$が必要になる。

* $\angle ABC = 60^\circ, \angle ABD = 45^\circ$. Therefore, $\angle CBD=15^\circ$. Thus, $\angle CAD=15^\circ$. Also, since $\angle ACB=60^\circ, \angle ADB = 60^\circ$.

* $\angle AEB + \angle DEB = 180^\circ$.

* Since $\triangle ABH$ is a right isosceles triangle, we have $BH = AH = 3\sqrt{2}$.

* $BE = x$. Then $BD= x + HD = x + \sqrt{AD^2-AH^2}$.

* Consider $\triangle ABE$. $\angle ABE = 45^\circ$. $\angle BAE = 75^\circ$ so $\angle AEB = 180 - 45- 75 = 60^\circ$

Area($\triangle ABE$) = $\frac{1}{2} AB \cdot BE \cdot \sin(\angle ABE) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin(45^\circ)$

However, without further information about $BE$ we can not calculate the value.

3. 最終的な答え

(1) 証明は上記参照。

(2)(ア) $AH = 3\sqrt{2}$ cm

(2)(イ) $\triangle ABE$の面積を求めるには、BEの長さが不明なため、現時点では面積は求まらない。