$xy$平面上の2点$(3, 0), (-3, 0)$を焦点とし、これら2焦点からの距離の差が2であるような点の軌跡である双曲線の方程式を$\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$の形で表したときの$A$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上の2点$(3, 0), (-3, 0)$を焦点とし、これら2焦点からの距離の差が2であるような点の軌跡である双曲線の方程式を$\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$の形で表したときの$A$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の定義から、2つの焦点$(3,0), (-3,0)$からの距離の差が常に2となる点の軌跡が双曲線となります。

双曲線の標準形は$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$で表されます。

焦点の座標は$(\pm c, 0)$であり、$c = 3$です。

焦点からの距離の差は$2a$で与えられ、問題文より$2a = 2$なので、$a = 1$となります。

双曲線の方程式における$a, b, c$の関係は、$c^2 = a^2 + b^2$で与えられます。

したがって、$3^2 = 1^2 + b^2$より、$b^2 = 9 - 1 = 8$となります。

求める双曲線の方程式は$\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{8} = 1$、すなわち$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{8} = 1$となります。

したがって、$A = 1$となります。

3. 最終的な答え

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