半径3の球に内接する直円錐があり、直円錐の高さは3以上とする。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、次の問いに答えよ。 (1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。 (2) $V$が最大になるときの$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径3の球に内接する直円錐があり、直円錐の高さは3以上とする。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。

(2) $V$が最大になるときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直円錐の底面の半径を$r$、高さを$h$とする。

球の半径は3なので、$r^2 + x^2 = 3^2$より、$r^2 = 9 - x^2$

また、直円錐の高さは$h = 3 + x$となる。

直円錐の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V = \frac{1}{3} \pi (9-x^2)(3+x)$

$V = \frac{1}{3} \pi (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$

$V = \frac{\pi}{3} (-x^3 - 3x^2 + 9x + 27)$

(2)

$V$が最大になるときの$x$の値を求める。

$V$を$x$で微分する。

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (-3x^2 - 6x + 9)$

$\frac{dV}{dx} = \pi (-x^2 - 2x + 3)$

$\frac{dV}{dx} = -\pi (x^2 + 2x - 3)$

$\frac{dV}{dx} = -\pi (x+3)(x-1)$

$\frac{dV}{dx} = 0$となるのは、$x=-3, 1$のとき。

$x$の範囲は$0 \le x \le 3$なので、$x=1$が極値の候補。

$x < 1$のとき$\frac{dV}{dx} > 0$、$x > 1$のとき$\frac{dV}{dx} < 0$なので、$x=1$で極大となる。

$x=0$のとき$V = 9\pi$

$x=3$のとき$V = 0$

したがって、$x=1$で$V$は最大となる。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\pi}{3}(-x^3 - 3x^2 + 9x + 27)$

(2) $x = 1$