座標空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(1,1,1)$, $B(-1,2,3)$, $C(a,-1,4)$ が与えられている。 (1) $a$ が全実数を動くとき、三角形 $ABC$ の面積の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。 (2) (1) で求めた $a$ の値をとるとき、四面体 $OABC$ の体積を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内の4点 $O(0,0,0)$, $A(1,1,1)$, $B(-1,2,3)$, $C(a,-1,4)$ が与えられている。

(1) $a$ が全実数を動くとき、三角形 $ABC$ の面積の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ。

(2) (1) で求めた $a$ の値をとるとき、四面体 $OABC$ の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-1-1, 2-1, 3-1) = (-2, 1, 2)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (a-1, -1-1, 4-1) = (a-1, -2, 3)$

次に、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a-1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (2)(-2) \\ (2)(a-1) - (-2)(3) \\ (-2)(-2) - (1)(a-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+4 \\ 2a-2+6 \\ 4-a+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2a+4 \\ 5-a \end{pmatrix}$

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、外積の大きさの半分で与えられる。

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{7^2 + (2a+4)^2 + (5-a)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{49 + 4a^2 + 16a + 16 + 25 - 10a + a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{5a^2 + 6a + 90}$

$S$ が最小となるのは、平方根の中身 $5a^2 + 6a + 90$ が最小となるときである。

$5a^2 + 6a + 90 = 5(a^2 + \frac{6}{5}a) + 90 = 5(a^2 + \frac{6}{5}a + (\frac{3}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2) + 90 = 5(a + \frac{3}{5})^2 - 5(\frac{9}{25}) + 90 = 5(a + \frac{3}{5})^2 - \frac{9}{5} + 90 = 5(a + \frac{3}{5})^2 + \frac{450-9}{5} = 5(a + \frac{3}{5})^2 + \frac{441}{5}$

したがって、$a = -\frac{3}{5}$ のとき、$5a^2 + 6a + 90$ は最小値 $\frac{441}{5}$ をとる。

そのときの三角形 $ABC$ の面積の最小値は、

$S_{min} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{441}{5}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{21}{\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10}$

(2) 四面体 $OABC$ の体積 $V$ は、ベクトル $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$ で作られる行列式の絶対値の $\frac{1}{6}$ 倍で与えられる。

$a = -\frac{3}{5}$ のとき、$\overrightarrow{OC} = (-\frac{3}{5}, -1, 4)$ である。

$V = \frac{1}{6} | \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ -\frac{3}{5} & -1 & 4 \end{vmatrix} | = \frac{1}{6} | 1(2\cdot4 - 3\cdot(-1)) - 1((-1)\cdot4 - 3\cdot(-\frac{3}{5})) + 1((-1)\cdot(-1) - 2\cdot(-\frac{3}{5})) |$

$= \frac{1}{6} | (8+3) - (-4 + \frac{9}{5}) + (1 + \frac{6}{5}) | = \frac{1}{6} | 11 + 4 - \frac{9}{5} + 1 + \frac{6}{5} | = \frac{1}{6} | 16 - \frac{3}{5} | = \frac{1}{6} | \frac{80-3}{5} | = \frac{1}{6} \cdot \frac{77}{5} = \frac{77}{30}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形 $ABC$ の面積の最小値は $\frac{21\sqrt{5}}{10}$ で、そのときの $a$ の値は $-\frac{3}{5}$。

(2) 四面体 $OABC$ の体積は $\frac{77}{30}$。