## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. 高さ100mの展望台から、南の方向にある家Pを見下ろすと角度が30°であった。南の方向から120°西へ向きを変えた方向にある家Qを見下ろすと角度が60°であった。P, Qが同じ高さにあるとして、2つの家の間の距離を求める。

2. ∠CBD = 60°, ∠DAB = 30°, ∠DBA = 15°, AB = 50mであるとき、塔の高さCDを求める。

3. ∠CAD = 30°, ∠DAB = 15°, ∠ADB = 135°, AB = 100mであるとき、ビルの高さCDを求める。

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2. 解き方の手順

### 問題1

1. 展望台の真下の点をOとする。家P, Qは同じ高さにあるので、OPとOQは水平な距離である。

2. 直角三角形OAPにおいて、$\tan{30^\circ} = \frac{OA}{OP}$ より、$OP = \frac{OA}{\tan{30^\circ}} = \frac{100}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 100\sqrt{3}$.

3. 直角三角形OAQにおいて、$\tan{60^\circ} = \frac{OA}{OQ}$ より、$OQ = \frac{OA}{\tan{60^\circ}} = \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3}$.

4. 三角形OPQにおいて、∠POQ = 120°なので、余弦定理を用いると、

$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cdot \cos{120^\circ}$

$PQ^2 = (100\sqrt{3})^2 + (\frac{100\sqrt{3}}{3})^2 - 2 \cdot 100\sqrt{3} \cdot \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot (-\frac{1}{2})$

$PQ^2 = 30000 + \frac{10000}{3} + 10000$

$PQ^2 = \frac{90000 + 10000 + 30000}{3} = \frac{130000}{3}$

$PQ = \sqrt{\frac{130000}{3}} = \frac{100\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{39}}{3}$.

### 問題2

1. 三角形ABDにおいて、∠ADB = 180° - ∠DAB - ∠DBA = 180° - 30° - 15° = 135°.

2. 三角形ABDにおいて、正弦定理より$\frac{AB}{\sin{\angle ADB}} = \frac{AD}{\sin{\angle DBA}}$.

$\frac{50}{\sin{135^\circ}} = \frac{AD}{\sin{15^\circ}}$.

$AD = \frac{50 \sin{15^\circ}}{\sin{135^\circ}} = \frac{50 \sin{15^\circ}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 50 \sqrt{2} \sin{15^\circ}$.

ここで、$\sin{15^\circ} = \sin{(45^\circ - 30^\circ)} = \sin{45^\circ} \cos{30^\circ} - \cos{45^\circ} \sin{30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

$AD = 50 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{50\sqrt{12} - 50\sqrt{4}}{4} = \frac{50 \cdot 2\sqrt{3} - 50 \cdot 2}{4} = \frac{100\sqrt{3} - 100}{4} = 25(\sqrt{3} - 1)$.

3. 直角三角形ADCにおいて、$\tan{30^\circ} = \frac{CD}{AD}$.

$CD = AD \tan{30^\circ} = 25(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 25(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 25(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 25(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{25(3 - \sqrt{3})}{3}$.

### 問題3

1. 三角形ADBにおいて、∠ABD = 180° - ∠DAB - ∠ADB = 180° - 15° - 135° = 30°.

2. 三角形ADBにおいて、正弦定理より$\frac{AB}{\sin{\angle ADB}} = \frac{AD}{\sin{\angle ABD}}$.

$\frac{100}{\sin{135^\circ}} = \frac{AD}{\sin{30^\circ}}$.

$AD = \frac{100 \sin{30^\circ}}{\sin{135^\circ}} = \frac{100 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{50}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}$.

3. 直角三角形ADCにおいて、$\tan{30^\circ} = \frac{CD}{AD}$.

$CD = AD \tan{30^\circ} = 50\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{6}}{3}$.

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3. 最終的な答え

1. $\frac{100\sqrt{39}}{3}$ m

2. $\frac{25(3 - \sqrt{3})}{3}$ m

3. $\frac{50\sqrt{6}}{3}$ m